Redigerer Boolsk differensialregning

'''Boolsk differensialregning''' (tysk: '''Boolescher Differentialkalkül''' '''– BDK''', engelsk: '''Boolean differential calculus''' '''– BDC''') er et emne innen [[Boolsk algebra]] som beskriver endring av [[Boolsk variabel|boolske variabler]] og [[Boolean function|boolske funksjoner]].

Boolsk differensialregning kan beskrive ulike aspekter av [[Dynamical systems theory|dynamisk systemteori]] slik som [[Automatteori|automata teori]] for [[Endelig tilstandsmaskin|finite automata]], petri-net teori,<ref name="Scheuring_Wehlan_1991_Petri" /> og tilsynskontrollteori (Supervisory control theory – SCT), slik at de kan bli behandlet på en enhetlig og lukket form, og at deres egenskaper kan behandles samlet.

En tilsvarende teori om [[boolsk integralregning]] har også blitt utviklet.<ref name="Bochmann_Posthoff_1981" /><ref name="Steinbach_Posthoff_2013_2" />

== Historie ==
Fagfeltet ble som senere ble til boolsk differensialregning ble inspirert av design og testing av switching circuits og bruk av [[Error-correcting code|feilrettende koder]] i [[elektroteknikk]]. I perioden fra 1954 til 1959 kom det flere verk, skrevet av Irving S. Reed,<ref name="Reed_1954" /> David E. Müller,<ref name="Muller_1954" /> David A. Huffman,<ref name="Huffman_1958" /> Sheldon B. Akers Jr.<ref name="Akers_1959" /> og A. D. Talantsev (A. D. Talancev, А. Д. Таланцев)<ref name="Talantsev_1959" />, og senere av Frederick F. Sellers, Jr,<ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_1" /><ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_2" /> Mu-Yue Hsiao<ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_1" /><ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_2" /> og Leroy W. Bearnson<ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_1" /><ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_2" /> i 1968. På 1970-tallet ble grunnlaget for boolsk differensialregning lagt med verk av André Thayse,<ref name="Thayse_1970" /><ref name="Thayse_1971" /><ref name="Thayse_Davio_1973" /><ref name="Davio_Deschamps_Thayse_1978" /><ref name="Thayse_1981" /> Marc Davio<ref name="Thayse_1971" /><ref name="Thayse_Davio_1973" /><ref name="Davio_Deschamps_Thayse_1978" /> og Jean-Pierre Deschamps<ref name="Davio_Deschamps_Thayse_1978" />. Senere  videreutviklet Dieter Bochmann,<ref name="Bochmann_Posthoff_1981" /> Christian Posthoff<ref name="Bochmann_Posthoff_1981" /> og Bernd Steinbach<ref name="Bochmann_Steinbach_1991" /> boolsk differensialregning til en fullverdig matematisk teori.

Siden har det blitt gjort betydelige fremskritt innen både teori og anvendelse av boolsk differensialregning, også på området som initierte fagfeltet – design og logisk syntese av switching circuits.

== Anvendelser ==
Boolsk differensialregning har anvendelser innen dynamiske systemer for diskrete hendelser (discrete event dynamic systems – DEDS)<ref name="Scheuring_Wehlan_1991_DEDS" />. Et eksempel på slike er [[Protokoll (datamaskiner)|kommunikasjons protokoller]] for [[digitale nettverk]].

Diskrete hendelser er også en vesentlig del av [[biologiske nevrale nett]] og noen typer [[nevromorfe nevrale nettverk]]. I biologiske nevrale nett vil [[nervecelle]]nes (nevronenes) [[axon hillock]] utløse en tilnærmet diskret nerveimpuls, en spike, som propagerer ut til andre nerveceller via nervecellens axoner. Dette vil danne et dynamisk system med diskrete hendelser.

Boolsk differensialregning har også blitt utvidet til variable og funksjoner med flere verdier,<ref name="Bochmann_Posthoff_1981" /><ref name="Yanushkevich_1998" /><ref name="Bochmann_2006_2008" /> og også nettverk av boolske funksjoner.<ref name="Steinbach_Posthoff_2013_1" /><ref name="Steinbach_Posthoff_2017" />

En [[Tsetlin-maskin]] vil bruke variable for å implementere læring i et nettverk av boolske funksjoner.

== Oversikt ==
Boolske differensialoperatorer har en betydelig rolle i boolsk differensialregning. De gjør at [[Differensialligning|differensialligninger]], kjent fra klassisk [[matematisk analyse]], kan utvides til logiske funksjoner.

Differensialene <math>dx_i</math> av boolske variable <math>x_i</math> modeller relasjonene:
:<math>dx_i = \begin{cases}
  0, & \text{ingen endring av} \, x_i\\
  1, & \text{endring av} \, x_i
\end{cases}
</math>

Det er ingen begrensning i forhold til egenskapene, årsakene til endringer, og konsekvensene av endringer.

Differensialene <math>dx_i</math> er binære, og kan brukes akkurat som vanlig binære variabler.

== Referanser ==
<references>
<ref name="Reed_1954">{{Kilde artikkel |fornavn=Irving Stoy |etternavn=Reed |dato=1954 |tittel=A Class of Multiple-Error-Correcting Codes and the Decoding Scheme |verk=Transactions of the [[IRE Professional Group on Information Theory]] (PGIT) |utgiver=[[Institute of Radio Engineers]] (IRE) |volum=PGIT-4 |nummer=4 |sider=38–49}}</ref>
<ref name="Muller_1954">{{Kilde artikkel |fornavn=David Eugene |etternavn=Muller |tittel=Application of Boolean algebra to switching circuit design and to error detection |publikasjon=Transactions of the [[IRE Professional Group on Electronic Computers]] (PGEC) |volum=PGEC-3 |dato=1954 |sider=6–12}}</ref>
<ref name="Huffman_1958">{{Kilde artikkel |fornavn=David Albert |etternavn=Huffman |tittel=Solvability criterion for simultaneous logical equations |utgiver=MIT Research Laboratory of Electronics |sted=Cambridge, MA, USA |publikasjon=Quarterly Progress Report |nummer=48 |id=AD 156-161 |dato=1958-01-15 |sider=87–88}}</ref>
<ref name="Akers_1959">{{Kilde artikkel|tittel=On a Theory of Boolean Functions|publikasjon=[[Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics]]|doi=10.1137/0107041|url=|dato=Desember 1959|forfattere=|fornavn=Sheldon Buckingham|etternavn=Akers, Jr.|via=|opprinnelsesår=1957-09-27|utgiver=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] (SIAM)|volum=7|nummer=4|sider=487-498|issn=0368-4245|sitat=}}</ref>
<ref name="Talantsev_1959">{{Kilde artikkel |fornavn=А. Д. [A. D.] |etternavn=Таланцев [Talantsev<!-- Talancev -->] |tittel=Ob analize i sinteze nekotorykh električeskikh skhem pri pomośći special'nykh logičeskikh operatorov |språk=russisk |overs-tittel=Analysis and synthesis of certain electric circuits by means of special logical operators |publikasjon=[[Автоматика и телемеханика]] ([[Avtomatika i telemekhanika]])|volum=20 |nummer=7 |dato=1959 |opprinnelsesår=1958-11-01 (submission) |sted=Moscow, Russia |sider=898–907 |url=http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=at&paperid=12783&option_lang=rus |besøksdato=2017-10-17 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20171017090358/http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=at&paperid=12783&option_lang=rus |arkivdato=2017-10-17 |sitat=[…] Основное содержание статьи доложено на семинаре по техническим приложениям математической логики в МГУ 2/Х 1958 г. и 16/1 1959 […] Автор считает своим долгом выразить признательность Vadim Aleksandrovich Trapeznikov, [[Виктор Иванович Шестаков|В. И. Шестакову]] и [[Михаил Львович Цетлин|М. Л. Цетлину]] за интерес к работе и ценные замечания при обсуждении результатов. […] [[…] The main content of the article was presented at the technical application workshop on mathematical logic at the [[Moscow State University]] on 1958-10-02 and 1959-01-16 […] The author considers it his duty to express gratitude to Vadim Aleksandrovich Trapeznikov, [[Victor Ivanovich Shestakov|V. I. Shestakov]] and [[Michael Lvovitch Tsetlin|M. L. Tsetlin]] for interest in the work and valuable comments in discussing the results.[…]]}}</ref>
<ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_1">{{Kilde artikkel|tittel=Analyzing Errors with the Boolean Difference|publikasjon=[[IEEE Transactions on Computers]]|doi=10.1109/TC.1968.227417|url=|dato=Juli 1968|forfattere=|etternavn1=Sellers, Jr.|etternavn2=Hsiao|fornavn2=Mu-Yue|etternavn3=Bearnson|fornavn3=Leroy W.|via=|volum=C-17|nummer=7|sider=676-683|issn=0018-9340|sitat=|fornavn1=Frederick F.}}</ref>
<ref name="Sellers_Hsiao_Bearnson_1968_2">{{Kilde bok |fornavn1=Frederick F. |etternavn1=Sellers, Jr. |fornavn2=Mu-Yue |etternavn2=Hsiao |fornavn3=Leroy W. |etternavn3=Bearnson |tittel=Error Detecting Logic for Digital Computers |utgiver=[[McGraw-Hill Book Company]] |sted=New York, USA |utgave=1st |oclc=439460 |lccn=68-16491 |sider=17–37 |dato=November 1968}}</ref>
<ref name="Thayse_1970">{{Kilde artikkel|tittel=Transient analysis of logical networks applied to hazard detection|publikasjon=[[Philips Research Reports]]|url=http://www.extra.research.philips.com/hera/people/aarts/_Philips%20Bound%20Archive/PRRep/PRRep-25-1970-261.pdf|dato=Oktober 1970|forfattere=|fornavn=André|etternavn=Thayse|via=|opprinnelsesår=Mai 1970|sted=Brussels, Belgium|utgiver=[[Philips Research Laboratory]], {{lang|fr|Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique}} (MBLE Research Laboratory)|volum=25|nummer=5|sider=261-336|id=R737|besøksdato=2017-10-17|sitat=[…] The author is indebted to Dr [[Marc Davio|M. Davio]] for his continuing interest and comments on this work. Thanks are also due to Mr [[Claude Fosséprez|C. Fosséprez]] who initially suggested the basic problem considered here. […]|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20170308203506/http://www.extra.research.philips.com/hera/people/aarts/_Philips%20Bound%20Archive/PRRep/PRRep-25-1970-261.pdf|arkivdato=2017-03-08|url-status=død}}</ref>
<ref name="Thayse_1971">{{Kilde artikkel|tittel=Boolean Differential Calculus|publikasjon=[[Philips Research Reports]]|url=http://www.extra.research.philips.com/hera/people/aarts/_Philips%20Bound%20Archive/PRRep/PRRep-26-1971-229.pdf|dato=Februar 1971|forfattere=|fornavn=André|etternavn=Thayse|via=|sted=Brussels, Belgium|utgiver=[[Philips Research Laboratory]], {{lang|fr|Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique}} (MBLE Research Laboratory)|volum=26|nummer=2|sider=229–246|id=R764|besøksdato=2017-10-16|sitat=[…] Abstract: After a brief outline of classical concepts relative to Boolean differential calculus, a theoretical study of various differential operators is undertaken. Application of these concepts to several important problems arising in switching practice is mentioned. […] Acknowledgement: The author is especially grateful to Dr [[Marc Davio|M. Davio]] for his encouragement and support and for several ideas in the presentation. […]|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20170308203806/http://www.extra.research.philips.com/hera/people/aarts/_Philips%20Bound%20Archive/PRRep/PRRep-26-1971-229.pdf|arkivdato=2017-03-08|url-status=død}}</ref>
<ref name="Thayse_Davio_1973">{{Kilde artikkel |fornavn1=André |etternavn1=Thayse |fornavn2=Marc |etternavn2=Davio |tittel=Boolean Differential Calculus and its Application to Switching Theory |publikasjon=[[IEEE Transactions on Computers]] |utgiver=[[IEEE Computer Society]] |sted=[[Philips Research Laboratory]], {{lang|fr|Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique}} (MBLE Research Laboratory), Brussels, Belgium |volum=C-22 |nummer=4 |dato=1973-04-01 |sider=409–420 |issn=0018-9340 |doi=10.1109/T-C.1973.223729 |url=https://dl.acm.org/citation.cfm?id=1310445 |besøksdato=2017-10-15}}</ref>
<ref name="Davio_Deschamps_Thayse_1978">{{Kilde bok |fornavn1=Marc |etternavn1=Davio |fornavn2=Jean-Pierre |etternavn2=Deschamps |fornavn3=André |etternavn3=Thayse |tittel=Discrete and Switching Functions |utgiver=Georgi Publishing Company / [[McGraw-Hill International Book Company]] |sted=St. Saphorin, Switzerland |utgave=1st |dato=1978-08-01 |isbn=0-07015509-7 |lccn=77030718}}</ref>
<ref name="Thayse_1981">{{Kilde bok |fornavn=André |etternavn=Thayse |redaktør1-fornavn=Gerhard |redaktør1-etternavn=Goos |redaktør2-fornavn=Juris |redaktør2-etternavn=Hartmanis |redaktør2-lenke=Juris Hartmanis |tittel=Boolean Calculus of Differences |verk=Lecture Notes in Computer Science |volum=101 |utgiver=[[Springer-Verlag]] |sted=[[Philips Research Laboratory]], Brussels, Belgium |utgave=1st |dato=1981 |isbn=3-540-10286-8}}</ref>
<ref name="Bochmann_Posthoff_1981">{{Kilde bok |fornavn1=Dieter |etternavn1=Bochmann |forfatter-lenke1=Dieter Bochmann |fornavn2=Christian |etternavn2=Posthoff |tittel=Binäre dynamische Systeme |språk=tysk |overs-tittel=Binary dynamic systems |utgiver=[[Akademie-Verlag]], Berlin / R. Oldenbourg Verlag, München |utgave=1st |dato=1981 |isbn=3-486-25071-X }}</ref>
<ref name="Bochmann_Steinbach_1991">{{Kilde bok |fornavn1=Dieter |etternavn1=Bochmann |forfatter-lenke1=Dieter Bochmann |fornavn2=Bernd |etternavn2=Steinbach |forfatter-lenke2=Bernd Steinbach |tittel=Logikentwurf mit XBOOLE – Algorithmen und Programme |språk=tysk |overs-tittel=Logic design with XBOOLE – Algorithms and programs |utgiver=Verlag Technik |sted=Berlin, Germany |utgave=1st |dato=1991 |isbn=3-341-01006-8 }}</ref>
<ref name="Scheuring_Wehlan_1991_DEDS">{{Kilde artikkel |tittel=On the Design of Discrete Event Dynamic Systems by Means of the Boolean Differential Calculus |fornavn1=Rainer |etternavn1=Scheuring |fornavn2=Herbert "Hans"<!-- This source identifies the author as Hans Wehlan --> |etternavn2=Wehlan |dato=1991-09-01 |verk=First IFAC Symposium on Design Methods of Control Systems |utgiver=[[International Federation of Automatic Control]] (IFAC) / [[Pergamon Press]] |sted=Zürich, Switzerland |redaktør1-fornavn=Dieter |redaktør1-etternavn=Franke |redaktør2-fornavn=Franta |redaktør2-etternavn=Kraus |volum=2 |doi=10.1016/S1474-6670(17)54214-7 |sider=723–728}}</ref>
<ref name="Scheuring_Wehlan_1991_Petri">{{Kilde artikkel |tittel=Der Boolesche Differentialkalkül – eine Methode zur Analyse und Synthese von Petri-Netzen |språk=tysk |overs-tittel=The Boolean differential calculus – A method for analysis and synthesis of Petri nets |fornavn1=Rainer |etternavn1=Scheuring |fornavn2=Herbert "Hans"<!-- This source identifies the author as Herbert Wehlan --> |etternavn2=Wehlan |redaktør-fornavn=Georg |redaktør-etternavn=Bretthauer |opprinnelsesår=Juli 1991 |dato=1991-12-01 |publikasjon=at – Automatisierungstechnik – Methoden und Anwendungen der Steuerungs-, Regelungs- und Informationstechnik |utgiver=R. Oldenbourg Verlag |issn=0178-2312 |sted=Stuttgart, Germany |volum=39 |nummer=7 |sider=226–233 |doi=10.1524/auto.1991.39.112.226 |url=https://www.degruyter.com/view/j/auto.1991.39.issue-1-12/auto.1991.39.112.226/auto.1991.39.112.226.xml |besøksdato=2017-10-16 |arkivurl=https://web.archive.org/web/20171016190403/https://www.degruyter.com/view/j/auto.1991.39.issue-1-12/auto.1991.39.112.226/auto.1991.39.112.226.png |arkivdato=2017-10-16}}</ref>
<ref name="Yanushkevich_1998">{{Kilde bok |fornavn=Svitlana N. [Svetlana N.] |etternavn=Ânuškevič [Yanushkevich] |tittel=Logic Differential Calculus in Multi-Valued Logic Design |type=PhD thesis |utgiver=Instytut Informatyki, Technical University of Szczecin |publikasjon=Journal Prace Naukowe Politechniki Szczecińskiej |sted=Szczecin, Poland |utgave=1st |dato=1998 |nummer=537/1 |issn=1506-3054 |isbn=978-8-387423-16-2 |id={{ISBN|8-387423-16-5}}}}</ref>
<ref name="Bochmann_2006_2008">{{Kilde bok |fornavn=Dieter |etternavn=Bochmann |tittel=Binary Systems - A BOOLEAN Book |utgiver=TUDpress Verlag der Wissenschaften |sted=Dresden, Germany |utgave=1st |dato=2008-09-01 |isbn=978-3-940046-87-1 }} (421 pages) Translation of: {{Kilde bok |fornavn=Dieter |etternavn=Bochmann |forfatter-lenke=Dieter Bochmann |tittel=Binäre Systeme - Ein BOOLEAN Buch |språk=tysk |overs-tittel=Binary systems - A Boolean book |utgiver=LiLoLe-Verlag GmbH (Life-Long-Learning) / BoD GmbH |sted=Hagen, Germany |utgave=1st |dato=februar 2006 |isbn=3-934447-10-4 |id={{ISBN|978-3-934447-10-3}}}}</ref>
<ref name="Steinbach_Posthoff_2013_1">{{Kilde artikkel |fornavn1=Bernd |etternavn1=Steinbach |forfatter-lenke1=Bernd Steinbach |fornavn2=Christian |etternavn2=Posthoff |tittel=Derivative Operations for Lattices of Boolean Functions |publikasjon=Proceedings Reed-Muller Workshop 2013 |sted=Toyama, Japan |dato=2013 |sider=110–119 |url=http://www.informatik.tu-freiberg.de/prof2/publikationen/RM_2013_dolbf.pdf |besøksdato=2017-10-21 |arkivurl= https://web.archive.org/web/20171021224454/http://www.informatik.tu-freiberg.de/prof2/publikationen/RM_2013_dolbf.pdf |arkivdato=2017-10-21}}</ref>
<ref name="Steinbach_Posthoff_2013_2">{{Kilde artikkel |fornavn1=Bernd |etternavn1=Steinbach |forfatter-lenke1=Bernd Steinbach |fornavn2=Christian |etternavn2=Posthoff |redaktør-fornavn=Mitchell A. |redaktør-etternavn=Thornton |tittel=Boolean Differential Equations |serie=Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems |issn=1932-3166 |utgiver=Morgan & Claypool Publishers |sted=San Rafael, CA, USA |dato=2013-07-01 |volum=8 |nummer=3 <!-- nummer=42 --> |id=Lecture #42 |utgave=1st |isbn=978-1-62705-241-2 |doi=10.2200/S00511ED1V01Y201305DCS042 |url=http://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00511ED1V01Y201305DCS042 |besøksdato=2017-10-15 |arkiv-dato=2019-01-30 |arkiv-url=https://web.archive.org/web/20190130110523/https://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00511ED1V01Y201305DCS042 |url-status=yes }}</ref>
<ref name="Steinbach_Posthoff_2017">{{Kilde artikkel |fornavn1=Bernd |etternavn1=Steinbach |forfatter-lenke1=Bernd Steinbach |fornavn2=Christian |etternavn2=Posthoff |redaktør-fornavn=Mitchell A. |redaktør-etternavn=Thornton |tittel=Boolean Differential Calculus |serie=Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems |issn=1932-3166 |utgiver=Morgan & Claypool Publishers |sted=San Rafael, CA, USA |dato=2017-06-07 |volum=12 |nummer=1 <!-- nummer=52 --> |id=Lecture #52 |utgave=1st |isbn=978-1-62705-922-0 |doi=10.2200/S00766ED1V01Y201704DCS052 |url=http://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00766ED1V01Y201704DCS052 |besøksdato=2017-10-15 |arkiv-dato=2022-06-23 |arkiv-url=https://web.archive.org/web/20220623071945/https://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00766ED1V01Y201704DCS052 |url-status=yes }}</ref>
</references>

== Litteratur ==
* {{Kilde artikkel|fornavn1=Marc|etternavn1=Davio|fornavn2=Philippe M.|etternavn2=Piret|tittel=Les dérivées Booléennes et leur application au diagnostic|språk=French|overs-tittel=Boolean derivatives and their application and diagnosis|publikasjon=Philips Revue|utgiver=[[Philips Research Laboratory]], {{lang|fr|Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique}} (MBLE Research Laboratory)|sted=Brussels, Belgium|volum=12|nummer=3|sider=63-76|dato=juli 1969}} (14 pages)
* {{Kilde bok|tittel=Boolean Functions and Equations|etternavn=Rudeanu|fornavn=Sergiu|dato=September 1974|utgiver=[[North-Holland Publishing Company]]/[[American Elsevier Publishing Company]]|isbn=0-44410520-4|id={{isbn|0-72042082-2}}}} (462 pages)
* {{Kilde artikkel|fornavn=Dieter|etternavn=Bochmann|tittel=Boolean differential calculus (a survey)|publikasjon=Engineering Cybernetics|utgiver=[[Institute of Electrical and Electronics Engineers]] (IEEE)|volum=15|nummer=5|dato=1977|issn=0013-788X|sider=67–75}} (9 pages) Translation of: {{Kilde artikkel|fornavn=Dieter|etternavn=Bochmann|forfatter-lenke=Dieter Bochmann|språk=russisk|tittel=[Boolean differential calculus (survey)]|publikasjon=Известия Академии наук СССР – Техническая кибернетика (Izvestii︠a︡ Akademii Nauk SSSR – Tekhnicheskai︠a︡ kibernetika) [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR – Engineering Cybernetics]|nummer=5|dato=1977|sider=125–133}} (9 pages)
* {{Kilde artikkel|fornavn=Martin|etternavn=Kühnrich|tittel=Differentialoperatoren über Booleschen Algebren|språk=tysk|overs-tittel=Differential operators on Boolean algebras|publikasjon=Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik|dato=1986|opprinnelsesår=1984-07-31 (submission)|sted=Berlin, Germany (East)|doi=10.1002/malq.19860321703|volum=32|nummer=17-18|id=#18|sider=271–288|url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/malq.19860321703/full}} (18 pages)
* {{Kilde bok|tittel=Gruppierung – Theorie und Anwendung in der Logiksynthese|etternavn=Dresig|fornavn=Frank|dato=1992|verk=Fortschritt-Berichte VDI|utgiver=VDI-Verlag|isbn=3-18-144509-6|serie=9|bind=145|utgivelsessted=Düsseldorf, Germany|sted=Düsseldorf, Germany|språk=tysk}} (NB. Also: Chemnitz, Technische Universität, Dissertation.) (147 pages)
* {{Kilde bok|url=https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-0348-9120-2_7|tittel=Discrete Event Systems: Modeling and Control|etternavn=Scheuring|fornavn=Rainer|etternavn2=Wehlan|fornavn2=Herbert "Hans"<!-- This source identifies the author variously as Hans or Herbert Wehlan -->|dato=1993|utgiver=[[Birkhäuser Verlag]]|besøksdato=2017-10-16|serie=Progress in Systems and Control Theory (PSCT)|bind=13|utgivelsessted=Institut für Systemdynamik und Regelungstechnik (ISR), [[Universität Stuttgart]], Stuttgart, Germany|sted=Institut für Systemdynamik und Regelungstechnik (ISR), [[Universität Stuttgart]], Stuttgart, Germany|kapittel=Control of Discrete Event Systems by Means of the Boolean Differential Calculus|url-status=død|arkiv-dato=2017-10-17|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20171017044253/https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-0348-9120-2_7}} (15 pages)
* {{Kilde bok|url=https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4020-2938-7|tittel=Logic Functions and Equations – Binary Models for Computer Science|etternavn=Posthoff|fornavn=Christian|etternavn2=Steinbach|fornavn2=Bernd||dato=2004-02-04|utgiver=[[Springer Science + Business Media B.&nbsp;V.]]|besøksdato=2017-10-19|isbn=1-4020-2937-3|utgave=1st|utgivelsessted=Freiberg, Germany|sted=Freiberg, Germany|doi=10.1007/978-1-4020-2938-7|oclc=254106952|id={{ISBN|978-1-4020-2937-0}}|url-status=live}} (392 pages)
* {{Kilde bok|tittel=Logic Functions and Equations – Examples and Exercises|etternavn=Steinbach|fornavn=Bernd|etternavn2=Posthoff|fornavn2=Christian|dato=2009-02-12|utgiver=[[Springer Science + Business Media B.&nbsp;V.]]|isbn=978-1-4020-9594-8|utgave=1st|utgivelsessted=Freiberg, Germany|sted=Freiberg, Germany|doi=10.1007/978-1-4020-9595-5|lccn=2008941076}} (xxii+232 pages) [http://www.e-reading.club/bookreader.php/135805/Posthoff%2C_Steinbach_-_Logic_Functions_and_Equations_-_Examples_and_Exercises.pdf] {{Wayback|url=http://www.e-reading.club/bookreader.php/135805/Posthoff%2C_Steinbach_-_Logic_Functions_and_Equations_-_Examples_and_Exercises.pdf |date=20171020033542 }}
* {{Kilde artikkel|fornavn1=Bernd|etternavn1=Steinbach|forfatter-lenke1=Bernd Steinbach|fornavn2=Christian|etternavn2=Posthoff|tittel=Boolean Differential Calculus – Theory and Applications|publikasjon=Journal of Computational and Theoretical Nanoscience|utgiver=American Scientific Publishers|volum=7|nummer=6|dato=2010-06-01|sider=933-981|issn=1546-1955|doi=10.1166/jctn.2010.1441|url=http://www.ingentaconnect.com/content/asp/jctn/2010/00000007/00000006/art00001}} (49 pages)
* {{Kilde bok|tittel=Chapter 3: Boolean Differential Calculus|etternavn=Steinbach|fornavn=Bernd|etternavn2=Posthoff|fornavn2=Christian}} In {{Kilde artikkel|fornavn1=Tsutomu|etternavn1=Sasao|fornavn2=Jon T.|etternavn2=Butler|redaktør-fornavn=Mitchell A.|redaktør-etternavn=Thornton|tittel=Progress in Applications of Boolean Functions|serie=Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems|issn=1932-3166|sted=San Rafael, CA, USA|utgiver=Morgan & Claypool Publishers|opprinnelsesår=2009|dato=2010-01-15|volum=4|nummer=1 <!-- nummer=26 -->|id=Lecture #26|utgave=1st|isbn=978-1-60845-181-4|sider=55–78, 121–126|doi=10.2200/S00243ED1V01Y200912DCS026|url=http://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00243ED1V01Y200912DCS026|besøksdato=2017-10-15|arkiv-dato=2019-01-30|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20190130161845/https://www.morganclaypool.com/doi/abs/10.2200/S00243ED1V01Y200912DCS026|url-status=yes}} (24 of 153 pages)

== Eksterne lenker ==
* {{Kilde www|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Boolean_differential_calculus&oldid=12153|tittel=Boolean differential calculus|besøksdato=2017-10-16|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20171016111554/https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Boolean_differential_calculus|arkivdato=2017-10-16|fornavn=Herbert "Hans"|etternavn=Wehlan|forlag=[[Springer Science+Business Media]]}}
* {{Kilde www|url=http://www.informatik.tu-freiberg.de/xboole/index.php?språk=English&aktwindow=home|tittel=XBOOLE|besøksdato=2017-10-31|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20171031105416/http://www.informatik.tu-freiberg.de/xboole/index.php?spr%C3%A5k=English&aktwindow=home|arkivdato=2017-10-31|etternavn=Institut für Informatik (IfI)|forlag=TU Bergakademie Freiberg|url-status=live}} med {{Kilde www|url=http://www.informatik.tu-freiberg.de/xboole/XBOOLEMonitor.zip?Submit=XBOOLE+Monitor|tittel=XBOOLE Monitor|besøksdato=2017-10-31|arkiv-url=https://web.archive.org/web/20171031002108/http://www.informatik.tu-freiberg.de/xboole/XBOOLEMonitor.zip?Submit=XBOOLE+Monitor|arkivdato=2017-10-31|url-status=død}}
{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Algebra]]
[[Kategori:Matematisk logikk]]
[[Kategori:Ordensteori]]
[[Kategori:Mengdelære]]