Redigerer Bevegelsesligning

En '''bevegelsesligning''' er en [[Ligning (matematikk)|ligning]] som skildrer hvordan et system endrer seg (f.eks. bevegelsen til et partikkel som blir utsatt for en [[kraft]]) som funksjon av tiden. Iblant omhandler ligningene [[differensialligning]]ene som systemet oppfyller (f.eks. [[Newtons bevegelseslover]] eller [[Lagrangemekanikk|Euler-Lagrange-ligningene]]), og iblant løsningen på disse ligningene.

Ligningene for et legeme som flytter seg lineært (altså i en dimensjon) med jevn [[akselerasjon]] er vist under.

==Lineære bevegelsesligninger==
Man ser på et legeme ved to tidspunkter, starttidspunktet og det aktuelle tidspunktet. Iblant kan en problemstilling utgjøre flere tidspunkter, som krever flere ligninger.
{| width="100%"
|- valign=top
|width="50%"|
: <math>v_f = v_i + a\Delta t \,</math>
: <math>s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (v_i + v_f)\Delta t</math>
: <math>s = v_i\Delta t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} a\Delta t^2</math>
: <math>v_f^2 = v_i^2 + 2as \,</math>
: <math>s = v_f\Delta t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} a\Delta t^2</math>

|width="50%"|
der
: <math>v_i \,</math> er legemets fart ved starttidspunktet
og den nåværende tilstanden er skildret ved:
: <math>s \,</math>, avstanden fra startpunktet. 
: <math>v_f \,</math>, den nåværende farten
: <math>\Delta t \,</math>, tiden mellom starttidspunktet og den nåværende tilstanden. 
:<math>a</math> er den konstante akselerasjonen, eller tyngdeakselerasjonen for legemer som faller mot bakken. 
|}

Merk at hver av ligningene inneholder fire av de fem variablene. Altså trenger man bare å kjenne til tre av de fem variablene for å regne ut de to andre.

==Klassisk versjon==
Ligningene over blir ofte skrevet på følgende måte:

:<math>v = u+at \,</math>

:<math>s = \frac {1} {2}(u+v) t </math>

:<math>s = ut + \frac {1} {2} a t^2 </math>

:<math>v^2 = u^2 + 2 a s \,</math>

:<math>s = vt - \frac {1} {2} a t^2 </math>

der

:''s'' = er forflyttelsen fra starttilstanden til sluttilstanden

:''u'' = farten i starttilstanden

:''v'' = farten i sluttilstanden

:''a'' = den konstante akselerasjonen

:''t'' = tiden forflyttelsen har tatt fra start- til sluttilstanden.

===Eksempel===
Mange eksempler i [[kinematikk]] involverer [[prosjektil]]er, f.eks. en ball som blir kastet opp i luften.

Med en fart i starttilstanden lik ''u'', kan man regne ut hvor høyt ballen vil gå før den begynner å falle ned igjen. Akselerasjonen er den normale tyngden ''g''. Her må man huske på at selv om disse størrelsene ser ut til å være [[skalar]]er, spiller retningen til forskyvingen, farten og akselerasjonen en rolle, og man kan se på disse som [[Vektor (matematikk)|vektorer]] i en spesifikk retning. Man må altså velge hvilken retning man skal måle størrelsene i for å kunne bruke ligningen over. Man kan velge å måle ''s'' opp fra bakken, akselerasjonen må faktisk være ''−g'' siden tyngdekraften virker nedover, og derfor også akselerasjonen til ballen.

På det høyeste punktet vil ballen være i ro, og derfor er ''v'' = 0. Ved å bruke den fjerde ligningen har vi:

:<math>s= \frac{v^2 - u^2}{-2g}</math>

Ved å sette inn og oppheve minustegnene får vi:

:<math>s = \frac{u^2}{2g}</math>

===Utvidelse===
Mer komplekse versjoner av disse ligningene kan inneholde en størrelse <math>\Delta</math>''s'' for forskyvingen (''s'' – ''s''<sub>0</sub>), ''s''<sub>0</sub> for startposisjonen til legemet, og ''v''<sub>0</sub> for ''u'' for å ha konsistens.

:<math>v = v_0 + at \,</math>
:<math>s = s_0 + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (v_0 + v)t \,</math>
:<math>s = s_0 + v_0 t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}{at^2} \,</math>
:<math>(v)^2 = (v_0)^2 + 2a \Delta s \,</math>
:<math>s = s_0 + v t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}{at^2} \,</math>

Derimot, ved at man kan velge hvor man skal plassere den endimensjonale aksen som legemet flytter seg på, blir disse mer kompliserte versjonene unødvendige.

== Ligninger for rotasjonsbevegelse ==
Man kan skrive om ligningene over til å gjelde for en [[rotasjon]]:

:<math> \omega = \omega_0 + \alpha t \,</math>
:<math> \phi = \phi_0 
+ \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}(\omega_0 + \omega)t </math>
:<math> \phi = \phi_0 + \omega_0 t + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}\alpha {t^2} \,</math>
:<math> (\omega)^2 = (\omega_0)^2 + 2\alpha \Delta \phi \,</math>
:<math> \phi = \phi_0 + \omega t - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}\alpha {t^2} \,</math>

der:
:<math>\alpha</math> er [[vinkelakselerasjon]]
:<math>\omega</math> er [[vinkelhastighet]]
:<math>\phi</math> er [[vinkelforskyvning]]
:<math>\omega_0</math> er vinkelfarten i starttilstanden
:<math>\phi_0</math> er vinkelforskyvningen i starttilstanden
:<math>\Delta \phi</math> er endringen av vinkelforskyvningen (<math>\phi</math> – <math>\phi_0</math>).

==Utledning==
===Bevegelsesligning 1===
Ut fra definisjonen av akselerasjon: 
:<math>\ a = \frac{v - u}{t}</math>

Derfor
:<math>at = v - u \,</math>
:<math>v = u + at \,</math>

===Bevegelsesligning 2===
Per definisjon
:<math> \text{gjennomsnittsfart} = \frac{s}{t}</math>

Så
:<math> \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + v) = \frac{s}{t}</math>
:<math>s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + v)t</math>

===Bevegelsesligning 3===
Sett inn ''Bevegelsesligning 1'' i ''Bevegelsesligning 2''
:<math>s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + u + at)t</math>
:<math>s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (2u + at)t</math>
:<math>s = ut + \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} at^2</math>

===Bevegelsesligning 4===
:<math>t = \frac{v - u}{a}</math>
Ved å bruke ''Bevegelsesligning 2'' kan man erstatte ''t'' i ligningen over
:<math>s = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} (u + v) ( \frac{v - u}{a} )</math>
:<math>2as = (u + v)(v - u) \,</math>
:<math>2as = v^2 - u^2 \,</math>
:<math>v^2 = u^2 + 2as \,</math>

===Bevegelsesligning 5===
Ved å bruke ''Bevegelsesligning 1'' til å erstatte ''u'' i ''Bevegelsesligning 3'' får man
:<math>s = vt - \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} at^2</math>

==Kilder==
*Robert Resnick, David Halliday, Jearl Walker: ''Fundamentals of Physics''.

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Klassisk mekanikk]]
[[Kategori:Fysiske ligninger]]