Redigerer 65537 (tall)

{{infoboks tall|
tall=65537|
faktorisert=[[primtall]]|
binær=10000000000000001|
oktal=200001|
heksa=10001|
romertall={{Romertall|65537}}
}}
'''65&nbsp;537''' er det 4. [[Fermat-tallene|fermattall]]et og det største kjente fermattallet som er et [[primtall]]. 65&nbsp;537 har blitt brukt som [[modulus]] i [[tallteoretiske transformasjoner]].

[[Fil:Regular 65537-gon First Carlyle Circle.gif|thumb|Konstruksjon av en [[65537-gon|regulær 65537-gon]]. Se [[konstruerbar polygon]].]]
'''65537''' er heltallet etter [[65536 (tall)|65536]] og før 65538.

==I matematikk==

65537 er det største kjente primtallet på formen <math>2^{2^{n}} +1</math> (<math>n = 4</math>). Derfor er en [[regulær polygon|regulær]] [[65537-gon|polygon med 65537 sider]]  [[konstruerbar polygon|konstruerbar]] med passer og umerket linjal. I [[tallteori]] er primtall på denne formen kjent som [[Fermattall|fermatprimtall]], oppkalt etter matematikeren [[Pierre de Fermat]].

De eneste kjente fermatprimtallene er

<math>2^{2^{0}} + 1 = 2^{1} + 1 = 3,</math>

<math>2^{2^{1}} + 1= 2^{2} +1 = 5,</math>

<math>2^{2^{2}} + 1 = 2^{4} +1 = 17,</math>

<math>2^{2^{3}} + 1= 2^{8} + 1= 257,</math>

<math>2^{2^{4}} + 1 = 2^{16} + 1 = 65537.</math><ref>{{cite book |last=Conway |first=J. H. |first2=R. K. |last2=Guy |year=1996 |title=The Book of Numbers |url=https://archive.org/details/booknumbers00guyj |location=New York |publisher=Springer-Verlag |page=[https://archive.org/details/booknumbers00guyj/page/n143 139] |isbn=0-387-97993-X }}</ref>

I 1732 fant [[Leonhard Euler]] ut at det neste fermattallet er sammensatt:

<math>2^{2^{5}} + 1 = 2^{32} + 1 = 4294967297 = 641 \times 6700417</math>

I 1880 viste [[Fortuné Landry]] at

<math>2^{2^{6}} + 1 = 2^{64} + 1 = 274177 \times 67280421310721</math>

65537 er også det 17. [[Jacobsthal–Lucas-tall]]et, og for tiden (2017) det største kjente heltallet ''n'' som gjør tallet <math>10^{n} + 27</math> til et sannsynlig primtall (probable prime).<ref>{{Kilde www |url=http://mada.la.coocan.jp/nrr/prime/primedifficulty.txt |tittel=Sequences by difficulty of search |besøksdato=2017-05-03 |arkiv-url=https://web.archive.org/web/20140714191755/http://mada.la.coocan.jp/nrr/prime/primedifficulty.txt |arkivdato=2014-07-14 |url-status=død }}</ref>

==Anvendelser==
65537 er ofte brukt som en offentlig eksponent i [[RSA (algoritme)|RSA]]-kryptosystemet. Fordi det er det fermattallet {{nowrap|1=F{{sub|''n''}} = 2{{sup|2{{sup|''n''}}}} + 1}} med {{nowrap|1=''n'' = 4}}, er den vanlige forkortelsen "F{{sub|4}}" eller "F4".<ref>
  {{cite web
 |url         = http://www.openssl.org/docs/apps/genrsa.html
 |title       = genrsa(1)
 |publisher   = OpenSSL Project
 |quote       = <nowiki>-F4|-3 [..] the public exponent to use, either 65537 or 3. The default is 65537.</nowiki>
 |url-status  = død
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20130603022550/http://www.openssl.org/docs/apps/genrsa.html
 |archivedate = 2013-06-03
 |tittel      = Arkivert kopi
 |besøksdato = 2013-06-05
 |arkivurl    = https://web.archive.org/web/20130603022550/http://www.openssl.org/docs/apps/genrsa.html
 |arkivdato   = 2013-06-03
 |url-status = død
}}
</ref> Denne verdien ses på som et klokt kompromiss, siden den er berømt for å være et primtall, stort nok til å unngå angrepene som små eksponenter gjør RSA sårbar for. På grunn av sin lave [[Hamming-vekt]] (antall 1-bits) kan den bli beregnet ekstremt hurtig på binære regnemaskiner, som ofte støtter skift- og inkrementinstruksjoner. Eksponenter i et hvilket som helst [[grunntall]] kan representeres som skift mot venstre i et posisjonelt grunntallsnotasjonssystem, så i totallssystemet er resultatet dobling—65536 er resultatet av inkrementell skifting av 1 med 16 plasser mot venstre, og 16 er i seg selv oppnåelig uten å laste en verdi inn i registeret (noe som kan være kostbart når registerinnholdet nærmer seg 64 bit), men null og én kan utledes "billigere".

65537 er også brukt som modulus i noen [[Lehmer-generatorer for tilfeldige tall]], slik som den som brukes av [[ZX Spectrum]], som sikrer at en hvilket som helst frøverdi vil bli [[relativt primisk]] til den, og effektiv reduksjon av modulusen ved hjelp av bitskift og subtraksjon er mulig.

==Referanser==
<references/>

{{Autoritetsdata}}

[[Kategori:Naturlige tall]]
[[Kategori:Primtall]]