Redigerer Σ-algebra

{{uforståelig}}{{lowercase}}
En familie <math>\mathcal{A}</math> av delmengder av mengden <math>X</math> kalles en '''sigma-algebra''' dersom

# <math>\mathcal{A}</math> er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde <math>A \in \mathcal{A}</math>.)
# Lukket under komplement: Hvis <math>A</math> er med i <math>\mathcal{A}</math> så er komplementet <math>A^{c}=X \setminus A</math> også være med i <math>\mathcal{A}</math>
# Lukket under tellbare unioner: Hvis <math>(A_n)_{n=1}^{\infty}</math> er en samling av mengder i <math>\mathcal{A}</math> er også unionen <math>\cup_{n=1}^{\infty} A_n</math> med i <math>\mathcal{A}</math>

Det følger at <math>\emptyset</math> og <math>X</math> er med i <math>\mathcal{A}</math>:<br />
Tar vi en vilkårlig mengde <math>A</math> i <math>\mathcal{A}</math> (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet <math>A^c</math> er i <math>\mathcal{A}</math> ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen <math>A \cup A^c = X</math> og dens komplement <math>\emptyset</math> være i <math>\mathcal{A}</math>.

== Eksempel ==
Den enkleste <math>\sigma</math>-algebraen på en gitt mengde <math>X</math> er den trivielle: <math>\mathcal{A}=\{\emptyset, X, A, A^c\}</math>, for en delmengde <math>A</math> av <math>X</math>. Går vi til den andre enden av skalaen er den største <math>\sigma</math>-algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av <math>X</math>, <math>\mathcal{P}(X)</math>.

La <math>X={1,2,3,4,5,....}</math> være mengden <math>\mathbb{N}</math> av alle [[naturlige tall]], og la
familien <math>\mathcal{A}</math> bestå av de 4 delmengdene <math>\emptyset</math>, <math>{1,3,5,....}</math> (alle [[oddetall]])
<math>{2,4,6,...}</math> (alle [[partall]]) samt <math>X</math> selv.
<math>\mathcal{A}</math> er da en sigma-algebra.

En svært viktig <math>\sigma</math>-algebra er '''Borel <math>\sigma</math>-algebraen.'''  Denne definerer vi som <math>\sigma</math>-algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde <math>X</math>. Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive <math>\mathcal{B}=\sigma((a,b))</math>. Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel <math>\sigma</math>-algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel <math>\sigma</math>-algebraen også er generert av <math>[a,b]</math>,<math>[a,b)</math>,<math>(a,\infty)</math> og <math>[a,\infty)</math>.

== Referanser ==
Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library

{{Autoritetsdata}}

{{STANDARDSORTERING:Sigma-algebra}}
[[Kategori:Algebraer]]
[[Kategori:Målteori]]