Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

===Harmonisk oscillator===
[[Fil:Schr-harmonic.png|thumb|240px|Grafisk fremstilling av de laveste egen-funksjonene for en harmonisk oscillator.]]

Et uendelig dypt kassepotensial er ikke realistisk for en fysisk virkelig situasjon. Av større betydning har derimot potensialet for en [[harmonisk oscillator]],

: <math> V(x) = {1\over 2}kx^2 </math>

hvor ''k'' er en konstant. Klassisk vil en partikkel med masse ''m&thinsp;'' utføre [[svingning]]er med frekvens ''&omega;'' = &radic;(''k''/''m'').  Egenskapene til en [[kvantisert harmonisk oscillator]] kan finnes fra den stasjonære Schrödinger-ligningen som kan omformes til

: <math> {d^2\psi\over d\xi^2} = (\xi^2 - \mathcal{E})\psi </math>

ved å innføre en dimensjonsløs ''x''-koordinat 

: <math> \xi = \sqrt{m\omega\over\hbar} x \;\; \text{og energi} \;\;\; \mathcal{E} = {2E\over\hbar\omega}  </math>.

Oscillatorpotensialet er igjen symmetrisk om ''x'' = 0 slik at løsningene vil opptre med positiv eller negativ paritet. De kan i dette tilfellet  finnes eksakt for bestemte verdier <math> \mathcal{E} = 2n + 1 </math> av energiparameteren som tilsvarer egenverdiene

: <math> E_n = \hbar\omega \left(n + {1\over 2}\right), \; n = 0, 1,2, 3, \ldots  </math>

De tilsvarende egenfunksjonene kan uttrykkes ved klassiske [[Hermite-polynom]] eller kan skrives på den kompakte formen

: <math> \psi_n(x) = C_n e^{{\xi^2}/2} \left({d\over d\xi}\right)^n e^{-\xi^2} </math> 

hvor ''C<sub>n</sub>'' er en normeringskonstant. Pariteten til løsningene er gitt som (-1)<sup>''n''</sup> .

Energien til denne oscillatoren med «nullpunktsenergien» ''E''<sub>0</sub> = (1/2)''ħ&omega;'' ble først funnet av [[Werner Heisenberg|Heisenberg]] ved bruk av hans [[Matrisemekanikk#Harmonisk oscillator|matrisemekanikk]]. Denne [[Kvantisert harmonisk oscillator#Algebraisk metode|algebraiske formalismen]] gir fremdeles den enkleste og mest direkte fremgangsmåte til å bestemme både egenverdier og egenfunksjoner.<ref name = Liboff/>

Kvantisering av en harmonisk oscillator har mange anvendelser i [[teoretisk fysikk]]. Løsningen av det endimensjonale tilfellet for en svingende partikkel kan lett generaliseres. For eksempel varierer potensialet i en tredimensjonal oscillator proporsjonalt med ''r''<sup>&thinsp;2</sup> = ''x''<sup>&thinsp;2</sup> + ''y''<sup>&thinsp;2</sup> + ''z''<sup>&thinsp;2</sup>. Løsningen av den tilsvarende Schrödinger-ligningen vil da ha den faktoriserte formen

: <math> \psi(x,y,z) = \psi_{n_x}(x) \psi_{n_y}(y) \psi_{n_z}(z) </math>

hvor hver faktor er en egenfunksjon for den endimensjonale oscillatoren. De tilsvarende egenverdiene for energien til den tredimensjonale oscillatoren er derfor

: <math> E_{n_x,n_y,n_z} = \hbar\omega  \left(n_x + n_y + n_z + {3\over 2}\right)</math>

hvor hvert av kvantetallene ''n<sub>x</sub>'',''n<sub>y</sub>'' og ''n<sub>z</sub>'' tar verdiene 0, 1, 2 og så videre. De kan derfor skrives som (''n'' + 3/2)''ħ&omega;'' hvor hvert heltall ''n&thinsp;'' angir energinivåene. Bortsett fra grunntilstanden med ''n'' = 0 er alle disse '''degenererte''' da det finnes mer enn én kvantetilstand med samme energi. Av spesiell interesse er den  [[Kvantisert harmonisk oscillator#Todimensjonal oscillator|todimensjonale oscillatoren]] i denne sammenhengen.

Hver komponent av et klassisk [[felt (fysikk)|felt]] med en viss frekvens ''&omega;&thinsp;'' beskrives som en harmonisk oscillator. Når denne kvantiseres, vil hver eksitasjon med energi {{nowrap|''E'' {{=}} ''ħ&omega;''}} være et [[kvant]] med denne energien.  Kvantetallet ''n&thinsp;'' til oscillatoren angir da hvor mange kvant som har denne frekvensen.<ref name = Sakurai>J.J. Sakurai, ''Advanced Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusetts (1967).</ref>