Redigerer Rayleigh-spredning (avsnitt)

==Einsteins fluktuasjonsteori==

Spredning av lyset skjer bare når gassen eller væsken inneholder substanser med en litt annen brytningsindeks enn omgivelsene. Da denne avhenger av tettheten til partiklene, vil også en variasjon av tettheten i en ellers homogen gass kunne gi opphav til spredning. Dette ble først påpekt av den polske fysiker [[Marian Smoluchowski]] som mente at dette bidraget måtte komme i tillegg til hva Rayleigh hadde beregnet. Kort tid deretter viste [[Einstein]] at slike tetthetsfluktuasjoner tilsvarer Rayleighs resultat for homogene gasser, men har et større gyldighetsområde. Senere, mer nøyaktige målinger har også bekreftet Einsteins teori for tettere gasser og væsker hvor Rayleighs beskrivelse ikke er nøyaktig nok.<ref name = Pais> A. Pais, ''Subtle is the Lord - The Science and Life of Albert Einstein'', Clarendon Press, Oxford (1982). ISBN 0-19-853907-X.</ref> 

===Fluktuasjoner===
Einstein beskriver gassen som et kontinuerlig [[fluid]] med en tetthet ''&rho;''('''r''') som varierer med posisjon. Derfor må man også benytte en variabel permittivitet ''&epsilon;''('''r''') for å beskrive gassens respons på et ytre, elektrisk felt. Polarisabiliteten ''&alpha;<sub>p</sub>''&thinsp; av en partikkel kan dermed erstattes med den tilsvarende størrelsen

: <math> \alpha_p \rightarrow \int\!d^3r \Delta\varepsilon(\mathbf{r}) </math>

i et endelig volum hvor &Delta;''&epsilon;''('''r''') = ''&epsilon;''('''r''') - 1 angir den lokale fluktuasjonen i permittiviteten.<ref name = Hulst> H.C. van de Hulst, ''Light scattering by small particles'', Dover Publications, New York (1981) ISBN 0-486-64228-3.  [https://books.google.no/books?id=PlHfPMVAFRcC&printsec=frontcover&hl=no&source=gbs_ge_summary_r&cad=0#v=onepage&q&f=false Google Book]. </ref> Det spredte lyset vil fremdeles være dipolstråling med en intensitet i retning ''&theta;&thinsp;'' som nå kan skrives som

: <math>  {I_\theta\over I_0} = {\pi^2\over 2r^2 \lambda^4} (1 + \cos^2\!\theta) S(\mathbf{Q})  </math>

etter å ha innført strukturfunksjonen

: <math> \begin{align} S(\mathbf{Q})  &= \int\!d^3r \! \int\!d^3r' \langle \Delta\varepsilon(\mathbf{r}) \Delta\varepsilon(\mathbf{r'}) \rangle e^{i\mathbf{Q}\cdot(\mathbf{r} -\mathbf{r'})} \\ &= V\!\int\!d^3r \langle \Delta\varepsilon(\mathbf{r}) \Delta\varepsilon(0) \rangle e^{i\mathbf{Q}\cdot\mathbf{r}} \end{align}</math>

hvor produktet av fluktuasjoner skal midles over det belyste volumet ''V&thinsp;'' i gassen.<ref name = Mac> D.A. McQuarrie, ''Statistical Mechanics'', Harper & Row Publishers, New York (1976). ISBN 06-044366-9. </ref> I tillegg er {{nowrap|'''Q''' {{=}} '''k'&thinsp;''' - '''k'''}} differensen mellom bølgevektorene for lyset som kommer inn og blir spredt. Siden Rayleigh-spredning er elastisk, er {{nowrap|''k'' {{=}} ''k'&thinsp;''}} slik at dens størrelse er {{nowrap|''Q'' {{=}} (4''&pi;''&thinsp;/''&lambda;'')sin(''&theta;''/2).}}  Når bølgelengden ''&lambda;''&thinsp; er mye større enn korrelasjonslengden mellom fluktuasjonene, vil {{nowrap|'''Q'''&sdot;'''r''' &rarr; 0}}. Da blir bidraget fra denne strukturfunksjonen konstant og ganske enkelt

: <math> S(\mathbf{Q}) = V^2 (\Delta\varepsilon)^2 </math>

hvor &Delta;''&epsilon;&thinsp;'' nå er den gjennomsnittlig fluktuasjonen i volumet ''V''. 

Den totale, spredte intensiteten ''I<sub>S</sub>''  finnes ved å integrere ''I<sub>&theta;</sub>'' over alle spredningsvinkler på samme måte som tidligere for det totale spredningstverrsnittet. På den måten kommer man frem til det tilsvarende resultatet

: <math> {I_S\over I_0} = {8\pi^3V^2\over 3r^2 \lambda^4} (\Delta\varepsilon)^2 </math>

hvor nå den eneste ukjente er størrelsen av den midlere fluktuasjonen til permittiviteten.<ref name = LL> L.D. Landau and E.M. Lifshitz, ''Electrodynamics of Continuous Media'', Pergamon Press, Oxford  (1984). </ref>

===Statistisk midling===

Siden man her kan se bort fra fluktuasjoner i temperaturen ''T'', er <math> \Delta\varepsilon = (\partial\varepsilon/\partial\rho)_T\Delta\rho </math> hvor fluktuasjonen <math> \Delta\rho </math> i tettheten kan beregnes fra [[statistisk mekanikk]].<ref name = Mac/> Det gir

: <math> \left({\Delta\rho\over\rho}\right)^2 = {1\over V} k_B T\kappa_T </math>

hvor ''k<sub>B</sub>'' er [[Boltzmanns konstant]] og <math> \kappa_T = (1/\rho)(\partial\rho/\partial P)_T </math> er fluidets [[kompressibilitet]] og angir hvordan dets tetthet varierer med det ytre trykket ''P''. Intensiteten av den spredte strålingen er dermed gitt ved 

: <math> {I_S\over I_0} = {8\pi^3V\over 3r^2 \lambda^4} k_B T\kappa_T \left(\rho{\partial\varepsilon\over\partial\rho}\right)_T^2 </math> 

Her inngår hvordan permittiviteten avhenger av mediets tetthet. Den følger fra Lorenz-Lorentz-relasjonen som sier at <math> (\varepsilon - 1/\varepsilon + 2) </math> er proporsjonal med ''&rho;''. Det betyr at

: <math>  \left(\rho{\partial\varepsilon\over\partial\rho}\right)_T = {1\over 3}(\varepsilon - 1)(\varepsilon + 2) </math>

som innsatt gir den endelige formen av Einsteins resultat.<ref name = AE> A. Einstein, ''Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des kritishchen Zustandes'', Annalen der Physik '''33''', 1275-1298 (1910).  [https://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol3-doc/325 Einstein Papers].</ref>
Det publiserte han i 1910 etter at han hadde etablert den [[spesiell relativitet|spesielle relativitetsteorien]] og var i ferd med å overta en ny stilling i [[Praha]]. Der gikk han i gang med å utvikle den [[generell relativitet|generelle relativitetsteorien]].<ref name = Pais/>

===Generell absorpsjonskoeffisient===

For spredning på ''N&thinsp;'' identiske partikler er absorpsjonskoeffisienten definert som ''h'' = ''&sigma;&rho;'' hvor ''&sigma;&thinsp;'' er spredningstverrsnittet på én partikkel. Da ''&rho;'' = ''N''/''V'', vil ''N&sigma;&thinsp;'' være det totale tverrsnittet for alle disse partiklene og derfor bestemme den spredte intensiteten ''I<sub>S</sub>''. Herav følger at denne koeffisienten for stråling som går gjennom et belyst område av størrelse ''V'', tar den alternative formen

: <math> h := {r^2\over V} {I_S\over I_0} = {8\pi^3\over 27\lambda^4} k_B T\kappa_T  (n^2 - 1)^2(n^2 + 2)^2</math>

etter å ha uttrykt permittiviteten ved brytningsindeksen til mediet ved den vanlige sammenhengen ''n''<sup>&thinsp;;2</sup> = ''&epsilon;''. På denne formen er det klart at absorpsjonskoeffisienten er uavhengig av spredningsvolumet.<ref name = LL/>

For en tynn gass som luft er ''n'' - 1 et lite tall. Da vil ''n''<sup>&thinsp;2</sup> + 2 ha en verdi som med god nøyaktighet er 3. Under normale forhold vil en slik gass også beskrives som en [[Ideell gass]]. Da blir kompressibiliteten {{nowrap|''&kappa;<sub>T</sub>'' {{=}} 1/''P''}} slik at {{nowrap|''k<sub>B</sub>T&kappa;<sub>T</sub>'' {{=}} ''V''&thinsp;/''N''}} = 1/''&rho;''.  
Absorpsjonskoeffisienten tar dermed en enklere form som er i full overenstemmelse med Rayleighs opprinnelige resultat.