Redigerer Pytagoras (avsnitt)

==Pytagoras og matematikk ==  
Ingenting sikkert er kjent om Pytagoras' bidrag til matematikk, men i tradisjonen er han blitt stående som en av pionérene i vestlig matematikk. Han har fått æren for læresetninger, og som med alt annet ved Pytagoras, er også dette omdiskutert. Pytagoreerne la stor vekt på matematikk, og det har ikke vært uvanlig at funn gjort i en større krets, i ettertid tilskrives lederen. Men det er også fullt mulig at han var en matematisk begavelse og original tenker.

=== Tall og aritmetikk ===
[[Fil:Pythagoras with tablet of ratios.jpg|thumb|Pytagoras med en tavle med forholdstall. Detalj av maleriet ''Skolen i Athen'' av [[Rafael]].]]
Pytagoras skal ha ment at alle ting ikke bare kan uttrykkes ved [[tall]], men grunnleggende <u>er</u> tall.<ref name=TH67/> Aristoteles skriver i ''Metafysikken'' at «Pytagoreerne studerte matematikk, og var de første som utviklet denne vitenskapen. Studiet ledet dem til å tro at matematiske prinsipper er grunnleggende for alt. Og siden tallene er det grunnleggende prinsippet i matematikk, trodde de at de kunne finne i tallene - mer enn i ild, jord og vann - analogier for alt som finnes. En egenskap ved tallene er «lov og rett», en annen er «sjelen og tanken», en tredje er «muligheter», og så videre. Og da egenskaper og forhold i musikkens skalaer virket basert på tall, og det syntes som om alt annet også var det, måtte tallene være det ultimat grunnleggende i hele det fysiske [[univers]]et.»<ref name=AR1>{{kilde www |url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:1999.01.0052:book=1:section=985b |tittel=Aristotele, ''Metaphysics'' |utgiver=Perseus Digital Library |besøksdato=2021-12-14 | kommentar=Fritt oversatt fra engelsk}}</ref>

Pytagoreisk tallforståelse sammenfattes ofte til at «alt er tall», men dette utsagnet er også omdiskutert.<ref name=OKS54>[[#OKS|O.Kr. Sundberg: ''Pythagoras og de tonenede tall...'']] s.54ff</ref> Har Aristoteles og senere skribenter oppfattet pytagoreerne riktig? Er bildet vi har at denne talltenkningen, farget av platonsk filosofi om ideale elementer? 

Tallene var for grekerne de positive heltallene, de [[naturlig tall|naturlige tallene]]. Likevel ble tallet 1 lenge ikke betraktet som et tall, men som den grunnleggende enheten. Denne betraktningsmåten kan ha opprinnelse hos pytagoreerne.<ref name=TH67/> Skillet mellom [[partall]] («kvinnelige tall») og [[oddetall]] («mannlige tall») tilskrives Pytagoras. Summen av ulike tall gir kvadrattall, og ulike tall regnet han derfor som mer perfekte og «mannlige» enn partallene. Disse danner i stedet [[rektangel|rektangler]], som i hans øyne gjorde dem ufullkomne, dvs. «kvinnelige».<ref>Tollefsen, Syse og Nicolaisen: ''Tenkere og ideer'' (s. 43-44), forlaget Gyldendal, Oslo 2002, ISBN 82-417-0966-8</ref>

Jamblikos gir også Pytagoras æren for å ha oppdaget såkalt «[[vennskapstall|vennlige tall]]». Angivelig uttalte han at en venn er «en som er det annet jeg, slik som 220 og 284».<Ref>[https://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=AmicableNumber «Vennlige tall»]</ref> Det han mente, var at 220 kan deles på 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 og 110, og om disse legges sammen, blir de 284. 284 kan deles på 1, 2, 4, 71 og 142, og om disse legges sammen, får man 220. Et tallpar <math>(a,b)</math> er vennlig dersom summen av ekte [[divisjon (matematikk)|divisorer]] 
i det ene tallet <math>a</math> er lik det andre tallet <math>b</math> og omvendt. 

Pytagoras skal også ha introdusert [[figurtall]]. 

Flere systemer var i bruk av grekerne for å representere heltallene, alle basert på bruk av bokstavene i det greske alfabetet. Egne symboler for tall var ikke i bruk.<ref name=TH29>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] vol.I s.29ff</ref> 

Gresk opererte ikke med [[rasjonalt tall|rasjonale tall]], men med ''forhold'' mellom to og flere heltall. Pytagoras må ha vært kjent med noe teori for forholdstall,
siden dette var grunnlaget for musikkteorien hans. De første kildene vi har til teori for forholdstall, er imidlertid fra tiden etter Pytagoras, for eksempel fra [[Evdoksos fra Knidos]].
Tre typer [[Gjennomsnitt|middelverdi]]er, aritmetisk, harmonisk og geometrisk middel, kan uttrykkes som forholdstall, og opphavet til disse middelverdiene føres mange ganger tilbake til Pytagoras, 
blant annet ved tilnavnet [[Gjennomsnitt#Pytagoreisk gjennomsnitt|pytagoreiske gjennomsnitt]].

Om Pytagoras har hatt en forståelse av [[irrasjonalt tall|irrasjonale tall]], er omdiskutert.<ref name=TH154>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] vol.I s.154ff</ref>   
[[Proklos]] har i ''Det evdemiske sammendraget'' en setning som er blitt tolket som «Det var Pytagoras som oppdaget teori for irrasjonale».<ref name=TH141>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] vol.I s.141</ref> Thomas Heath argumenterer imidlertid for at det siste ordet i den greske setningen skal oversettes med «forholdstall», ikke «irrasjonale».
Pytagoreernes forhold til [[Kommensurablitet (matematikk)|inkommensurable størrelser]] er et stort og omdiskutert emne.
[[Fil:Pythagoraas.svg|thumb|Geometri i Pytagoras' læresetning.]]
=== Geometri ===
[[Diodorus Siculus]] siterer en tidlig kilde, [[Kallimakhos]], som skal ha sagt at Pytagoras var den første til å introdusere geometriske problemstillinger fra Egypt, og han skal ha oppdaget flere geometriske problemer på egen hånd.<ref name=TH141/> I ''Det evdemiske sammendraget'' skriver Proklos at Pytagoras fulgte etter Tales fra Milet og utviklet geometri til å være en av [[de frie kunstene]]. Han skal også ha konstruerte «de kosmiske figurene», det vil si [[Platonsk legeme|de fem regulære legemene]], men dette er nok en overdrivelse.  

Bruk av areal til å uttrykke produkt av to størrelser er grunnleggende i gresk matematikk og geometri. Ved hjelp av dette kan enkelte former for [[andregradsligning]]er løses geometrisk, i det som i ettertiden kalles «(gresk) geometrisk algebra». Slike arealbetraktninger har sitt opphav fra pytagoreerne og kanskje Pytagoras selv.<ref name=TH150>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] vol.I s.150</ref>  

=== Pytagoras' læresetning ===
{{Utdypende|Pytagoras’ læresetning}}
Setningen som i dag er kjent som Pytagoras' læresetning, gir sammenhengen mellom sidelengdene <math>a</math>, <math>b</math> og <math>c</math> i en rettvinklet trekant:
:<math>a^2 + b^2 = c^2</math>

Sammenhengen var kjent lenge før Pytagoras tid, blant annet i [[babylonsk matematikk]]. Selv om tradisjonen har knyttet setningen sterkt til Pytagoras, finnes det ikke sikkert 
grunnlag for å si at han oppdaget sammenhengen på egen hånd:
{{sitat|''Though this is the proposition universally associated with the name of Pythagoras, no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him...I would not go so far as to deny to Pythagoras the credit of the discovery of our proposition; nay, I like to believe that the tradition is right, and that it was really his.''|Thomas Heath<ref name=TH144>[[#TH|T. Heath ''A history of Greek mathematics'']] vol.I s.144</ref>}}

Det er mulig at Pytagoras introduserte setningen til grekerne, etter for eksempel å ha fått kunnskapen fra reiser i Babylon, men heller ikke dette kan 
belegges med historiske fakta.<ref name=CHK32>[[#CHK|C.H. Kahn: ''Pythagoras ...'']] s.32</ref>  

Flere kilder forteller at Pytagoras skal ha ofret en okse da han oppdaget sammenhengen uttrykt i setningen, men dette samsvarer ikke med tradisjonen om at pytagoreerne
var mot blodoffer.      

En gruppering av tre heltall <math>(a,b,c)</math> som oppfyller Pytagoras' setning, kalles et [[pytagoreisk trippel]]. Et eksempel på et slikt trippel er (3, 4, 5).