Redigerer Niels Henrik Abel (avsnitt)

== Matematikk ==
For mange så er det nok femtegradsligningen som forbindes med Niels Henrik Abel, men Abel har satt store spor etter seg i matematikken på flere områder. Arbeidene hans har nok hatt størst innvirkning på tre hovedområder: [[ligning (matematikk)|ligning]]steori, teoriene om [[elliptiske funksjoner]] og uendelige [[rekke (matematikk)|rekke]]r.

=== Ligningsteorien ===

De gamle babylonerne kunne løse andregradsligninger, mens italienske regnemestere som [[Girolamo Cardano|Cardano]], [[Tartaglia]] og [[Lodovico Ferrari|Ferrari]] fant metoder for å løse ligninger av tredje og fjerde grad. På Abels tid var en av de største utfordringene å finne en metode for å løse femtegradsligninger på samme måte som en kan løse ligninger av andre, tredje og fjerde grad.<ref name="Holme" /> Man ønsket altså å finne en metode for å finne røttene av en generell femtegradsligning av typen:

:<math>a_1 x^5 + a_2 x^4 + a_3 x^3 + a_4 x^2 + a_5 x + a_6 = 0</math>

Allerede mens Abel var elev ved Katedralskolen hadde han funnet en formel for å løse slike femtegradsligninger, og hverken Abel eller noen andre matematikere i Norge klarte å finne noen feil i formelen. Men etter at Ferdinand Degen i København hadde stilt seg skeptisk til dette, ble Abel han mer og mer overbevist om at det ikke fantes noen slik generell løsning, og at femtegradsligninger ikke kunne løses ved hjelp av en slik generell formel. På den tiden visste ikke Abel at italieneren [[Paolo Ruffini]] hadde levert et bevis for dette omtrent 25 år før, men etterhvert fant Abel ut at hverken Ruffinis bevis eller hans eget første forsøk på et slikt bevis var holdbare.<ref name="Ore" /> Abel leverte etter hvert to helt fullstendige beviser for dette, og setningen kalles i dag Abel-Ruffinis teorem.

Det er derimot viktig å være klar over at Abel-Ruffinis teorem ikke sier at generelle femtegradsligninger er uløselig. Det setningen viser er at de ikke lar seg løse ved [[N-te rot|rotutdragning]], slik tilfellet er for andre-, tredje- og fjerdegradsligninger. I [[algebraens fundamentalteorem]] viste [[Gauss]] lenge før Abels tid at alle slike ligninger har en løsning uttrykt ved [[komplekse tall]]. Abel prøvde å finne betingelsene som en slik ligning må oppfylle for at den skal ha en [[algebraisk løsning]]. Kan denne uttrykkes kun ved [[kvadratrot|kvadratrøtter]], kan den [[konstruerbare tall|konstrueres]] ved bruk av [[passer]] og [[linjal]].

=== Elliptiske funksjoner ===

[[Elliptiske funksjoner]] kan sees på som en generalisering av [[trigonometriske funksjoner]] (som for eksempel [[Sinussetningen|sinus]]- og [[cosinus]]-funksjonene). De oppstår for eksempel i forbindelse med beregning av [[buelengden]] til [[ellipse]]r eller svingetiden for en [[pendel]]. Resultatet kan da uttrykkes ved bestemte, [[elliptisk integral|elliptiske integral]] som først var blitt grundig studert av [[Adrien-Marie Legendre]]. Etter reisen til København i 1823 arbeidet Abel mye med disse integralene. Abels genistrek var å betrakte dem på en helt annen måte enn det som var blitt gjort til da. I stedet for å studere selve integralene, så han på de ''omvendte'' eller [[ligning (matematikk)#Inverse funksjoner|inverse funksjonene]]. Dette fortalte han i et brev til Holmboe allerede i 1823. Året etter i et brev til Degen kunne han fortelle at disse funksjonene har to perioder.<ref> C. Skaug, [https://www.math.ntnu.no/seminarer/perler/2010-10-08_slides.pdf ''The lemniscate and Abel’s discovery of complex multiplication for elliptic curves''], Matematiske perler, NTNU (2010). </ref> Men først i 1827 publiserte han det første arbeidet om elliptiske funksjoner.

Den tyske matematikeren [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Gustav Jacobi]] publiserte sitt første arbeid om lignende funksjoner senere samme år. Det utviklet seg snart et slags kappløp mellom ham og Abel, særlig fordi han i begynnelsen synes å ha oversett Abels arbeid. Abel brukte derfor mye av sin energi gjennom sine to siste leveår for å unngå at Jacobi skulle ta for mye av æren for oppdagelsen av disse funksjonene. Det er i dag alminnelig enighet at Abel var først ute med å finne disse funksjonene selv om han ventet lenge med å publisere sine resultat.<ref name="Stillwell"/>

=== Uendelige rekker ===
I matematikken er en [[rekke (matematikk)|rekke]] en sum av en endelig eller uendelig følge av [[tall]]. En endelig rekke kan behandles med verktøy fra elementær [[algebra]], mens en uendelig rekke krever verktøy fra [[matematisk analyse]].<ref name="Holme" />

To av de mest anerkjente matematikerne på Abels tid var [[Gauss]] og [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]], og de hadde ledet an i prosessen om å gjenopprette logisk stringens i matematikken. Abel var også opptatt av at matematiske setninger skulle ha strenge bevis.<ref name="Ore" /> Ett av de områdene Abel kritiserte for mangel på stringente bevis dreide seg om uendelige rekker, og spesielt divergente rekker. I en avhandling om [[binomialformelen]], som Abel mente ennå ikke var blitt bevist på en ordentlig måte, viste han hvordan uendelige rekker kunne behandles på en stringent måte. Dette blir nå kalt for [[Abels konvergensteorem]]. Dermed lyktes han å bevise at binomialformelen også er gyldig for [[komplekst tall|komplekse]] eksponenter. Gjennom denne avhandlingen ga dermed Abel et viktig bidrag til formaliseringen av teoriene om uendelige rekker.<ref> Kari Hag og Per Hag, [https://www.math.ntnu.no/~kari/tangentartikkel.html ''Niels Henrik Abel og uendelige rekker''] {{Wayback|url=https://www.math.ntnu.no/~kari/tangentartikkel.html |date=20160311132355 }}, Tangenten nr. 1 (1999).</ref>

=== Paris-avhandlingen ===
Selv om Abels opphold i Paris ble en stor skuffelse, var det en periode hvor han var svært kreativ og produktiv. Det var her han skrev sin store avhandling om integraler av elliptiske funksjoner. Da han leverte den inn i slutten av oktober 1826 skrev han i et brev hjem: «Jeg tør uden Bram sige at den er god. Jeg er nysgjerrig efter at høre Institutets Dom.»<ref>E. Tunstad, [http://www.forskning.no/Artikler/2002/juni/1023272595.48 ''Abel: "Jeg skal kjempe for mitt liv!"] {{Wayback|url=http://www.forskning.no/Artikler/2002/juni/1023272595.48 |date=20070929122028 |df=iso }}, Forskning.no (2002).</ref> I denne avhandlingen viste han sammenhenger mellom [[algebra]], [[matematisk analyse]] og [[geometri]] som ingen tidligere hadde sett.<ref>K.E. Aubert, [http://www.abelprize.no/nedlastning/litteratur/27_149.pdf ''Abels addisjonsteorem''] {{Wayback|url=http://www.abelprize.no/nedlastning/litteratur/27_149.pdf |date=20161130065034 }}, Normat '''4''', 149-158 (1979).</ref>

Det var den store Cauchy som fikk i oppdrag å bedømme Abels avhandling ved vitenskapsakademiet. Cauchy var derimot langt mer opptatt av egne ideer, og avhandlingen ble lagt til side og glemt. Like etter Abels død ble avhandlingen funnet igjen i Paris. Det franske akademiet bestemte da at den skulle trykkes, og at Abel skulle få akademiets store pris. Så ble avhandlingen borte igjen, og da Holmboe skulle gi ut Abels samlede verker i 1839 var det ikke mulig å få tak i den. Endelig ble den funnet igjen i 1841, og da ble den til slutt trykket. Kort tid etter dette ble avhandlinga sporløst borte igjen. Den ble ikke funnet før i 1959, da den norske matematikeren [[Viggo Brun]] til slutt klarte å spore den opp i [[Firenze]].<ref>V. Brun, [http://www.abelprize.no/nedlastning/litteratur/01_091_brun.pdf ''Det gjenfunne manuskript til Abels Parisavhandling''] {{Wayback|url=http://www.abelprize.no/nedlastning/litteratur/01_091_brun.pdf |date=20161201062400 }}, Oslo (1953).</ref>