Redigerer
Magnetostatikk
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Kulemagnet== De magnetiske egenskapene til en magnetisert kule kan beregnes på tilsvarende måte som for en stavmagnet. Er dens magnetisering '''M''' = ''M'' '''e'''<sub>''z''</sub> langs ''z''-aksen konstant, vil den hverken inneholde noen magnetiseringsstrøm '''J'''<sub>''m''</sub> eller magnetisk ladningstetthet ''ρ<sub>m</sub> ''. Derimot vil det på overflaten av kulen være en strømtetthet {{nowrap|'''K'''<sub>''m''</sub> {{=}} '''M''' × '''n'''}} hvor normalen '''n''' til overflaten peker utover i radiell retning. Her er det naturlig å bruke [[kulekoordinater]] slik at man kan skrive {{nowrap|'''M''' {{=}} ''M''(cos''θ'' '''e'''<sub>''r''</sub> - sin''θ'' '''e'''<sub>''θ''</sub>)}} og {{nowrap|'''n''' {{=}} '''e'''<sub>''r''</sub> }}, gir det overflatestrømmen : <math> \mathbf{K}_m = M\sin\theta\,\mathbf{e}_\phi </math> Denne strømmen gir opphav til et magnetisk vektorpotensial '''A''' som nå kan beregnes.<ref name = Jackson/> Inni kulen blir dette : <math> \mathbf{A}(r < a) = {1\over 3}\mu_0 Mr\sin\theta\, \mathbf{e}_\phi </math> der ''a'' er dens radius. Ved å ta [[curl]] i dette koordinatsystemet finner man : <math> \mathbf{B}(r < a) = {2\over 3}\mu_0 M(\cos\theta\,\mathbf{e}_r - \sin\theta\,\mathbf{e}_\theta) </math> som er et konstant magnetfelt {{nowrap|'''B''' {{=}} (2/3)''μ''<sub>0</sub> <sub>'''M'''</sub>}} langs ''z''-aksen. Dermed blir {{nowrap|'''H''' {{=}} - (1/3)'''M'''}} inni kula slik at feltene '''B''' og '''H''' igjen har motsatt retning i dette området. Utenfor kula gir den tilsvarende beregningen : <math> \mathbf{A}(r > a) = {1\over 3}\mu_0 M{a^3\over r^2} \sin\theta\, \mathbf{e}_\phi </math> Dette er akkurat vektorpotensial '''A''' = (''μ''<sub>0</sub>/4''π'' ) '''m''' × '''r'''/''r''<sup>3</sup> fra det totale dipolmomentet {{nowrap|'''m''' {{=}} (4''π'' /3)''a''<sup>3</sup>'''M'''}} til kula. Utenfor denne har derfor magnetfeltet formen til en punktformig [[dipol]] selv om det magnetiske momentet her har en endelig utstrekning. Det magnetiske '''H'''-feltet kan alternativt bestemmes fra skalarpotensialet Ψ. Da den magnetiske ladningstettheten {{nowrap|''ρ<sub>m</sub> '' {{=}} 0}}, vil dette potensialet oppfylle [[Laplace-ligning]]en {{nowrap|'''∇'''<sup> 2</sup> Ψ {{=}} 0}}. På samme måte som normalkomponenten av det [[elektrisk felt|elektriske feltet]] {{nowrap|'''E''' {{=}} - '''∇''' Φ}} på begge sider av en grenseflate har en diskontinuitet gitt ved den elektriske overflateladningen ''σ'' på flaten, vil det magnetiske feltet {{nowrap|'''H''' {{=}} - '''∇''' Ψ}} ha en diskontinuitet som er gitt ved den magnetiske flateladningen {{nowrap|''σ<sub>m</sub>'' {{=}} '''M'''⋅'''n'''}} = ''M'' cos''θ''. Laplace-ligningen har to løsninger som varierer med den polare vinkelen som cos''θ''. Den ene er {{nowrap|Ψ<sub>1</sub> {{=}} ''C''<sub>1</sub> ''r'' cos''θ''}} hvor {{nowrap|''C''<sub>1</sub>}} er en konstant. Den kan brukes inni kula. Utenfor kan løsningen {{nowrap|Ψ<sub>2</sub> {{=}} ''C''<sub>2</sub>  cos''θ''/''r''<sup> 2</sup>}} benyttes da den avtar mot null i store avstander. Fra kravet at potensialet Ψ skal ha samme verdi like innenfor som utenfor kula, følger at {{nowrap|''C''<sub>2</sub> {{=}} ''a''<sup> 3</sup>''C''<sub>1</sub>}}, mens kravet at {{nowrap|''H<sub>r</sub>'' {{=}} - ∂Ψ/∂''r''}} forandres diskontinuerlig med {{nowrap|''M'' cos''θ''}}, bestemmer {{nowrap|''C''<sub>1</sub> {{=}} ''M''/3}}.<ref name = Zangwill/> Skalarpotensialet utenfor kula kan nå skrives som : <math> \Psi(r > a) = \Psi_2 = Ma^3 {\cos\theta\over 3 r^2} = {\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}\over 4\pi r^3} </math> som er det skalare [[elektrisk felt#Dipolpotensialet|dipolpotensialet]] fra det totale dipolmomentet {{nowrap|'''m''' {{=}} '''M'''''V''}} til kula med volum {{nowrap|''V'' {{=}} (4''π'' /3)''a''<sup>3</sup>.}} I dette området er derfor magnetfeltet {{nowrap|'''B''' {{=}} ''μ''<sub>0</sub>'''H'''}} et rent dipolfelt. På tilsvarende måte er det skalare potensialet inni kula : <math> \Psi(r < a) = \Psi_1 = {1\over 3} Mr\cos\theta = {1\over 3}Mz </math> og varierer derfor bare i ''z''-retning. Det tilsvarende magnetfeltet vil derfor peke i samme retning og er {{nowrap|'''H''' {{=}} - '''M'''/3}}. I dette området er derfor {{nowrap|'''B''' {{=}} (2/3)''μ''<sub>0</sub>'''M'''}} i overensstemmelse med hva som ble funnet fra vektorpotensialet skapt av magnetiseringsstrømmene. ===Ytre magnetfelt=== Magnetisering av en kule kan induseres ved å plassere den i et konstant, ytre magnetfelt {{nowrap|'''B'''<sub>0</sub> {{=}} ''μ''<sub>0</sub>'''H'''<sub>0</sub>}}. Hvis den antas å bestå av et lineært, magnetiserbart materiale med [[permeabilitet (fysikk)|relativ permeabilitet]] ''μ<sub>r</sub>'' , vil det oppstå et magnetfelt inni den {{nowrap|'''B''' {{=}} ''μ''<sub>0</sub>''μ<sub>r</sub>'' '''H'''}} som i utgangspunktet ikke lenger er konstant. Men da det skalære potensialet fremdeles må oppfylle [[Laplace-ligning]]en, vil det bli konstant inni kulen. Utenfor vil det være en lineærkombinasjon av det ytre feltet {{nowrap|'''B'''<sub>0</sub>}} og dipolfeltet skapt av magnetiseringen '''M''' indusert i kulen.<ref name = Jackson/> Feltene inni kulen kan nå skrives som : <math> \mathbf{B}(r < a) = \mathbf{B}_0 + {2\over 3}\mu_0\mathbf{M}, \;\;\; \mathbf{H}(r < a) = \mathbf{H}_0 - {1\over 3}\mathbf{M} .</math> Siden de er forbundne via den relative permeabiliteten, kan nå herav den induserte magnetiseringen finnes. Den blir : <math> \mathbf{M} = 3\left({\mu_r - 1\over \mu_r + 2}\right) \mathbf{H}_0 </math> og er null når det ytre feltet blir null. Fra denne magnetiseringen kan man fra det totale dipolmomentet {{nowrap|'''m''' {{=}} '''M'''''V''}} til kula igjen finne det magnetiske dipolfeltet utenfor kula som nå opptrer sammen med det ytre feltet. Mange magnetiserbare materialer har en [[permeabilitet (fysikk)|susceptibilitet]] {{nowrap|''χ<sub>m</sub>'' {{=}} ''μ<sub>r</sub>'' - 1}} << 1. For en slik kule vil en derfor kunne skrive med god nøyaktighet at {{nowrap|'''M''' {{=}} ''χ<sub>m</sub>'' '''H'''<sub>0</sub>}}. Forskjellen mellom feltet '''H''' inni kula og det ytre feltet '''H'''<sub>0</sub> er da neglisjerbar.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon