Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

===Spinorer===

En partikkel med spinn ''s'' = 1/2,  kan være i en vilkårlig spinntilstand 

: <math> |\psi \rangle = \psi_+ |\uparrow \rangle +\, \psi_- |\downarrow \rangle </math>  

som er en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av to egentilstander. De to komponentene er gitt ved <math> \psi_m = \langle m| \psi \rangle </math> som i alminnelighet er komplekse tall. Sammen utgjør de en kolonnematrise

: <math> \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} </math>

som kalles en '''spinor'''. Det er i motsetning til en [[vektor (matematikk)|vektor]] som har tre komponenter i det tredimensjonale rommet. Egenvektorene kan nå representeres ved basisspinorene

: <math>  \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} </math>

slik at en generell spinntilstand kan skrives som <math>  \psi = \psi_+\! \uparrow + \; \psi_- \!\downarrow. </math> Dette er en slags diskret [[bølgefunksjon]].

På samme måte kan operatorene representeres ved  2&thinsp;&times;&thinsp;2 matriser med komponenter

:  <math> (S_a)_{mm'} = \langle m |\hat{S}_a | m' \rangle </math>

En direkte utregning gir da at

: <math> \mathbf{S} = {\hbar\over 2}\boldsymbol{\sigma} </math>

hvor '''&sigma;''' utgjør de tre [[Pauli-matrise]]ne

: <math>  \sigma_x =  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_y  = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_z =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .</math>

Når partikkelen beveger seg og har en posisjon '''r''' som eventuelt kan variere med tiden, må man benytte basisvektorene <math> |\mathbf{r},m \rangle </math> i Hilbert-rommet. Dens komponenter er da <math> \psi_m(\mathbf{r}) = \langle m,\mathbf{r} | \psi \rangle </math> slik at den kan den kan fremstilles som

: <math> \psi (\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} \psi_+ (\mathbf{r}) \\ \psi_- (\mathbf{r}) \end{pmatrix} = \psi_+(\mathbf{r}) \! \uparrow + \; \psi_- (\mathbf{r}) \!\downarrow </math>

Spinoren har en tidsutvikling som er beskrevet av [[Pauli-ligning]]en. Den er en utvidelse av [[Schrödinger-ligning]]en for partikler med spinn ''s'' = 1/2, men gjelder bare når bevegelsen er ikke-relativistisk. Når det ikke er tilfelle, må man i stedet benytte [[Dirac-ligning]]en hvor den tilsvarende Dirac-spinoren inngår og har fire komponenter.<ref name = Abers/>