Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

==Schrödingers bølgemekanikk==
[[Fil:Erwin Schrodinger2.jpg|thumb|200px|Erwin Schrödinger, ca 1914.]]

[[Erwin Schrödinger]] var professor ved [[Universitetet i Zürich]] da han høsten 1925 ga et kollokvium om [[Louis de Broglie|de Broglies]] forslag om å beskrive partikler som [[materiebølger]]. Dette var basert på den duale beskrivelsen av lys som [[bølge]]r og samtidig også som [[foton]]er. Hvis det samme gjelder for en vanlig partikkel  med energi ''E'' og impuls ''p'',  kan den derfor på denne måten tilordnes en [[frekvens]] {{nowrap|''&nu;'' {{=}} ''E''/''h&thinsp;''}} og en [[bølgelengde]] {{nowrap|''&lambda;'' {{=}} ''p''/''h''}} der ''h'' er [[Plancks konstant]]. Etter kollokviet fikk Schrödinger den kommentaren at hvis dette var riktig, så måtte det også finnes en [[bølgeligning]] som beskriver partikkelen. Noen få uker senere hadde han utarbeidet en slik ligning. De første anvendelser av denne nye [[Schrödinger-ligning]]en og dens begrunnelse ble. publisert i flere artikler på begynnelsen av 1926. Løsning av ligningen tilsvarte en beregning av partikkelens eller systemets [[kvantetilstand]]er som i Heisenbergs matrisemekanikk kun var antatt å finnes. Diskrete kvantefenomen kunne nå forklares ved en kontinuerlig «bølgemekanikk».<ref name = Pais-1/>

En [[bølge]] med en bestemt frekvens ''&nu;'' vil oppfylle [[Helmholtz-ligningen]]

: <math> (\nabla^2 + k^2) \psi(\mathbf{r}) = 0 </math>

hvor ''&psi;&thinsp;'' er [[amplitude]]n og ''k'' = 2''&pi;&thinsp;''/''&lambda;''  er [[Bølge#Harmoniske bølger|bølgetallet]]. Hvis denne skal beskrive en partikkel med masse ''m'' som beveger seg i et potensial ''V'' = ''V''('''r'''), er bølgelengden ifølge de Broglie gitt ved impulsen ''p''. Denne finnes fra partikkelens totale energi {{nowrap|''E'' {{=}} ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m'' + ''V''}}. På denne måten fant Schrødinger sin opprinnelige ligning

: <math> \nabla^2\psi + {8\pi^2m\over h^2}(E - V)\psi = 0  </math>

Da den har lignende form som mange andre [[partielle differensialligninger]] som var kjente på den tiden, fantes det flere veletablerte metoder for hvordan den kunne løses. Allerede i sitt første arbeid viste Schrödinger hvordan den kunne anvendes på [[Hydrogenatom#Schrödinger-ligningen|hydrogenatomet]] og gi kvantiserte verdier for energien ''E'' i overensstemmelse med [[Bohrs atommodell#Diskrete energinivå|Bohrs formel]].<ref name = Longair/>

===Operatorer og egenverdier===

Den tidsuavhengige [[Schrödinger-ligning]]en kan skrives som

: <math> \Big[ -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{r}) \Big] \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) </math>

der nå den reduserte Planck-konstanten {{nowrap|''ħ'' {{=}} ''h''/2''&pi;&thinsp;''}} inngår. På venstre side kan man betrakte

: <math> \hat{H} = -{\hbar^2\over 2m}\boldsymbol{\nabla}^2 + V(\mathbf{r}) </math>

som en «energioperator» som. virker på en [[bølgefunksjon]] ''&psi;''('''r'''). Den fremkommer fra den klassiske [[Hamilton-mekanikk|Hamilton-funksjonen]] og omtales derfor som [[Hamilton-operator]]en. Da tar ligningen formen <math>  \hat{H}\psi = E\psi, </math>  og de tillatte energiene sies å være [[egenverdi]]er  til denne operatoren. De tilsvarende bølgefunksjonene er operatorens [[Egenvektor|egenfunksjoner]]. I dette tilfellet gir disse funksjonene en matematisk beskrivelse av kvantetilstander med bestemt energi.<ref name = Bohm/>

Ved å definere en «impulsoperator» som <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} </math>  med komponenter <math>\hat{p}_a = -i\hbar{\partial\over \partial x_a}, </math> kan Hamilton-operatoren i dette tilfellet skrives som

: <math> \hat{H} =  {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} + V(\mathbf{r}) </math>

Det gjør det mulig å finne denne direkte fra det klassiske uttrykket for energien til partikkelen hvor den [[kinetisk energi|kinetiske]] delen uttrykkes ved partikkelens impuls.

I denne bølgemekanikken vil en partikkel med en bestemt impuls '''p''' beskrives av en bølgefunksjon som er en egenfunksjon av impulsoperatoren. Den må derfor tilfredsstille <math> \hat\mathbf{p} \psi = \mathbf{p}\psi </math> og er derfor gitt ved den enkle [[differensialligning]]en

: <math> -i\hbar\boldsymbol{\nabla} \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) = \mathbf{p}\, \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) </math>

Den har som løsning <math>  \psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r}) = A e^{i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}/\hbar} </math> hvor ''A'' er en konstant. Bølgefunksjonen for en partikkel med bestemt impuls er derfor en [[komplekst tall|kompleks]] funksjon. Den inneholder ingen informasjon om partikkelens posisjon i overensstemmelse med [[Heisenbergs uskarphetsrelasjon]]. Men funksjonen er vanligvis ikke en egenfunksjon for Hamilton-operatoren. Det er tilfelle kun for frie partikler hvor potensialet ''V'' = 0. En bunden partikkel har ikke noen veldefinert impuls, men vil likevel ha bestemte energier. Dette kan lett illustreres ved å betrakte løsninger av Schrödinger-ligningen i enkle, [[Schrödinger-ligning#Endimensjonale eksempel|1-dimensjonale eksempel]].<ref name= Griffiths>D.J. Griffiths, ''Quantum Mechanics'', Pearson Education International, Essex (2005). ISBN  1-292-02408-9.</ref>

===Kanoniske kommutatorer===

Impulsoperatoren <math> \hat\mathbf{p} = -i\hbar\boldsymbol{\nabla} </math> virker på alle funksjoner som står på den høyre siden av den som ved vanlig [[derivasjon]]. Da er for eksempel

: <math> {\partial\over\partial x} xf(x) = f(x) + x {\partial \over\partial x}f(x) </math>

som kan skrives på den litt mer abstrakt formen

: <math> {\partial\over\partial x} x -  x {\partial \over\partial x} = 1  </math>

En videreføring av denne skrivemåten er å tenke seg en «enhetsoperator» som kan virke på enhver funksjon og gir samme funksjon tilbake som resultat. Likedan kan man tenke seg en «posisjonsoperator» <math> \hat{x} </math> som virker på en funksjon ''f''&thinsp;(''x&thinsp;'') og gir dermed ''xf''&thinsp;(''x&thinsp;'') tilbake.
For impulsoperatoren i ''x''-retning gjelder derfor sammenhengen <math> [\hat{x},\hat{p}] = i\hbar </math> hvor '''kommutatoren''' av to operatorer er definert som <math>  [\hat{a} , \hat{b}] = \hat{a} \hat{b} - \hat{b} \hat{a}. </math>

Med en ekstra koordinat ''y&thinsp;'' vil nå samme betraktning gi <math> [\hat{y},\hat{p}_x] =  [\hat{x},\hat{p}_y] = 0.</math> Da rekkefølgen av to partielle derivasjoner ''&part;<sub>x</sub>'' = ''&part;&thinsp;''/''&part;x&thinsp;'' og ''&part;<sub>y</sub>'' = ''&part;&thinsp;''/''&part;y&thinsp;'' fritt kan byttes om, vil  på lignende vis kommutatoren <math> [\hat{p}_x,\hat{p}_y] = 0. </math>  Avgjørende for all kvantisering er de ''kanoniske'' kommutatorene

: <math> [\hat{x}_a,\hat{p}_b] = i\hbar\,\delta_{ab} </math>

hvor [[Kronecker-delta]] på høyre side er null hvis indeksene er forskjellige og lik med én når de er like.<ref name = Bohm/>

Når partikkelens impuls er gitt ved virkningen av en operator, vil også dens [[dreieimpuls]] <math> \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math> beskrives av en vektoroperator med komponenter

: <math>\begin{align} \hat{L}_x &= -i\hbar (y\partial_z - z\partial_y), \;\; \hat{L}_y = -i\hbar (z\partial_x - x\partial_z) , \\ \hat{L}_z &= -i\hbar (x\partial_y - y\partial_x) .  \end{align} </math>

De kommuterer ikke seg imellom, men oppfyller den kanoniske kommutatoren

: <math> [\hat{L}_x,\hat{L}_y] = i\hbar \hat{L}_z </math>

pluss de to andre som fremkommer ved syklisk ombytte av operatorene.
Egenverdiene til kun én av dem kan derfor bestemmes. Vanligvis velges den å være dreieimpulsen om ''z''-aksen. Ved direkte utregning finner man at  <math>  [\hat{L}_z,  \hat\mathbf{L}^2] = 0 </math> slik at også egenverdiene til den totale dreieimpulsen <math> \hat\mathbf{L}^2 = \hat{L}_x^2 + \hat{L}_y^2 + \hat{L}_z^2 </math> kan finnes. Dette er helt i overensstemmelse med hva som ble funnet fra  Heisenbergs [[matrisemekanikk]] noen få måneder tidligere og leder til den nå vanlige [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisering av dreieimpuls]].

===Sentralsymmetrisk potensial===

Når en partikkel beveger seg i et potensial ''V''(''r''&thinsp;) som bare avhenger av avstanden ''r&thinsp;'' til et sentrum, er det rotasjonssymmetrisk om dette punktet. Det er derfor naturlig å benytte [[kulekoordinater]] (''r, &theta;, &phi;'') istedenfor kartesiske koordinater (''x, y, z'') i Schrödinger-ligningen. Ved å bruke den klassiske identiteten <math> (\mathbf{r}\times\mathbf{p})^2 = r^2p^2 - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})^2, </math>  kan man i den kinetiske energien benytte at

: <math> \mathbf{p}^2 = p_r^2 + {1\over r^2}\mathbf{L}^2 </math>

hvor den radielle komponenten er <math> p_r = (\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})/r .</math> Kvantemekanisk blir den en operator som kan finnes fra sammenhengen <math> \hat\mathbf{p}^2 = - \hbar^2\nabla^2 </math> og uttrykket for [[Laplace-operator#Tre dimensjoner|Laplace-operatoren]] i kulekoordinater. Det gir

: <math> \hat{p}_r^2 =  - {\hbar^2\over r^2}  {\partial\over\partial r}\left( r^2 {\partial\over\partial r}\right)  = - \hbar^2 \left({\partial^2\over\partial r^2} + {2\over r} {\partial \over\partial r} \right) </math>

samt operatoren som bestemmer den totale dreieimpulsen

: <math>  \hat\mathbf{L}^2 = -\hbar^2\left[ {1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2} \right] </math>

Ved [[Kvantisert dreieimpuls|kvantisering]] finner man dens egenfunksjoner som er [[Sfærisk harmonisk funksjon|sfærisk harmoniske funksjoner]] {{nowrap|''Y''<sub>ℓ''m''</sub>(''&theta;,&phi;'')}}. Egenverdiene følger fra

: <math>  \hat\mathbf{L}^2 Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \hbar^2 \ell(\ell + 1) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor kvantetallet ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. Heltallet ''m'' ligger i intervallet {{nowrap|- ℓ &le; ''m'' &le; ℓ}} og tar derfor {{nowrap|2ℓ + 1}} forskjellige verdier.  Energien til partikkelen blir uavhengig av dette «magnetiske kvantetallet».<ref name = Griffiths/>

Schrödinger-ligningen kan nå forenkles ved å skrive den fulle bølgefunksjonen som

: <math> \psi(\mathbf{r}) = R(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

Den radielle delen av denne funksjonen må derfor være en løsning av den ordinære [[differensialligning]]en

: <math>  \left[- {\hbar^2\over 2m}\left({d^2\over dr^2} + {2\over r}{d\over dr}\right) +  {\ell(\ell +1)\hbar^2\over 2mr^2} + V(r)\right]R(r)  = E R(r). </math>
 
En videre forenkling kan gjøres ved å innføre funksjonen {{nowrap|''u''(''r'') {{=}} ''r''&thinsp;''R''(''r'')}}, Det sentralsymmetriske egenverdiproblemet blir da redusert til å finne løsninger av ligningen

: <math> - {\hbar^2\over 2m}{d^2 u \over dr^2} + V_{eff}(r) u(r) = E u(r) </math>

hvor det effektive potensialet er

: <math> V_{eff}(r) = V(r) +  {\ell(\ell +1)\hbar^2\over 2mr^2} </math>

Det siste leddet skyldes dreieimpulsen til partikkelen og virker som en [[sentrifugalkraft]] som holder den borte fra origo i ''r'' = 0. I nærheten av dette punktet dominerer leddet og betyr at den radielle funksjonen varierer som ''u''(''r'') &asymp; ''r''<sup>&thinsp;&ell;+1</sup> i dette området.<ref name = Davydov>A.S. Davydov, ''Quantum Mechanics'', Pergamon Press, London (1965).</ref>

Allerede i sitt første arbeid kunne Schrödinger løse denne radielle ligningen for Coulomb-potensialet som opptrer i [[Hydrogenatom#Schrödinger-ligningen|hydrogenatomet]]. Dette gjorde det klart at denne bølgemekaniske formuleringen av kvantefysikken kunne anvendes i langt større grad enn den abstrakte matrisemekanikken til Heisenberg.

===Eksempel: Sfærisk kassepotensial===

En bundet partikkel i et atom for eksempel befinner seg per definisjon i et endelig område av rommet. Den må derfor kvanemeaknisk beskrives av en bølgefunksjon som går mot null ved store avstander. Den enkleste illustrasjon av en slik situasjon er en partikkel som kun kan bevege seg i én dimensjon mens den befinner seg i et uendelig dypt [[Schrödinger-ligning#Partikkel i kassepotensial|kassepotensial]]. Mer realistisk er å anta at partikkelen kan bevege seg fritt i alle tre dimensjoner innenfor en avstand ''r'' < ''a&thinsp;'' fra origo hvor ''a&thinsp;'' er radius til et uendelig dypt kassepotensialet.

Inne i kassen hvor  potensialet {{nowrap|''V''(''r'') {{=}} 0,}} er de radielle bølgefunksjonene med dreieimpuls  ℓ = 0 enklest å finne. Differensialligningen for disse  ''s''-tilstandene er

: <math> {d^2 u_0 \over dr^2} + k^2 u_0(r) = 0 </math>

hvor størrelsen ''k&thinsp;'' bestemmer partiklens energi ved sammenhengen ''E'' = ''ħ''<sup>&thinsp;2</sup>''k''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m''. Den er bestemt ved kravet  at bølgefunksjonen må være null utenfor kassen. Da den samtidig må være kontinuerlig gjennom dens overflate {{nowrap|''r'' {{=}} ''a''}}, må  {{nowrap|''u''<sub>0</sub>(''ka'') {{=}} 0}}. Denne grensebvtingelsen gir nå den entydige løsningen

: <math> u_0(r) = \sin kr </math>

med de kvantiserte verdiene ''k'' = ''n&thinsp;&pi;''&thinsp;/''a''. Dermed har ''s''-tilstandene energiene

: <math> E_{0n} = {\hbar^2\over 2ma^2} (\pi n)^2 </math>

hvor ''n'' = 1, 2, 3 etc virker som et radielt kvantetall. Tilstandene kan betegnes som 1''s'', 2''s&thinsp;'' og så videre. Dette er samme resultat som for løsningen i et éndimensjonalt kassepotensial med samme utstrekning.<ref name = Griffiths/>

Funksjonen ''R''<sub>0</sub>(''r'') = ''u''<sub>0</sub>/''r&thinsp;'' er den sfæriske [[Bessel-funksjon]]en ''j''<sub>0</sub>(''kr'') av laveste orden. Løsning av Schrödinger-ligning for ℓ > 0 er på tilsvarende vis gitt ved mer kompliserte Bessel-funksjoner ''j''<sub>ℓ</sub>(''kr''). Energiene til disse tilstanden må dermed tilfredsstille grensebetingelsen {{nowrap|''j''<sub>ℓ</sub>(''ka'') {{=}} 0}}. Det betyr at {{nowrap|''k'' {{=}} ''x''<sub>ℓ''n''</sub>&thinsp;/''a&thinsp;''}} hvor ''x''<sub>ℓ''n''</sub>&thinsp; er ''n''-te nullpunkt til Bessel-funksjonen ''j''<sub>ℓ</sub>(''x''), De kvantiserte energiene for partikkelen i dette potensialet er derfor

: <math> E_{\ell n} = {\hbar^2\over 2ma^2} x_{\ell n}^2 </math>

For de laveste ''p''-tilstandene med ℓ = 1 er nullpunktene {{nowrap|''x''<sub>11</sub> {{=}} 4.49}} og {{nowrap|''x''<sub>12</sub> {{=}} 7.73}}. Derfor har  1''p''-tilstanden en energi mellom 1''s&thinsp;'' og 2''s'', mens 2''p&thinsp;'' ligger over 2''s''. På tilsvarende vis betyr {{nowrap|''x''<sub>21</sub> {{=}} 5.76}} og {{nowrap|''x''<sub>31</sub> {{=}} 6.99}} at tilstanden 1''d&thinsp;''  med ℓ = 2  ligger like under 2''s''-tilstanden, mens 1''f&thinsp;'' ligger like over denne.<ref name = Davydov/>

Når det sfæriske kassepotensialet modifiseres til et tredimensjonalt, harmonisk oscillatorpotensial {{nowrap|''V''(''r'') {{=}} ''m&omega;''<sup>&thinsp;2</sup>''r''<sup>&thinsp;2</sup>/2,}} kan de [[kvantisert harmonisk oscillator|kvantiserte energiene]] beregnes eksakt. De blir

: <math> E_{\ell n_r} = \hbar\omega(2n_r + \ell + 3/2) </math>

hvor ''n<sub>r</sub>'' = 0, 1, 2, ... er et radielt kvantetall. Energinivåene er bestemt av kombinasjonen {{nowrap|''n'' {{=}} 2''n<sub>r</sub>'' + ℓ&thinsp;}} og vil derfor generelt være degenererte. Det gjelder ikke for grunntilstanden med energi 3''ħ&omega;''/2 og kvantetall ℓ = ''n<sub>r</sub>'' =   0. Likedan består det første, eksisterte energinivå 5''ħ&omega;''/2 entydig av tilstanden  ℓ = 1, ''n<sub>r</sub>'' = 0. Derimot inneholder nivået 7''ħ&omega;''/2 både tilstanden  ℓ = 2, ''n<sub>r</sub>'' = 0 og  ℓ = 0, ''n<sub>r</sub>'' = 1. Denne degenerasjonen av energinivåene  stemmer overens med hva som finnes ved å løse Schrödinger-ligningen for dette potensialet ved bruk av [[Schrödinger-ligning#Harmonisk oscillator|kartesiske koordinater]]. Det skyldes at det mekaniske systemet har en ekstra symmetri ut over rotasjonssymmetrien som allerede er benyttet ved løsningen. Noe tilsvarende gjelder også for [[Hydrogenatom#Kvantemekanisk beregning|Coulomb-potensialet]] som har en bevart [[Runge-Lenz-vektor]].

===Interpretasjon av bølgefunksjon===

Da Schrödinger lanserte sin bølgemekanikk i 1926, mente han at bølgefunksjonen ''&psi;''('''r''') for et elektron i et atom var et uttrykk for hvordan dets ladning var fordelt inni atomet. Mer nøyaktig, hvis ''e'' er elektronets ladning, så er ''e''&thinsp;|''&psi;''&thinsp;|<sup>&thinsp;2</sup> den elektriske ladningstettheten i atomet. Det bundne elektronet kunne ikke beskrives som en enkel bølge, men måtte i stedet betraktes som en «bølgepakke» sammensatt av mange bølger. Denne beskrivelsen eller mentale bilde av bølgefunksjonen møtte motstand fra flere hold. Ikke uventet var Heisenberg meget kritisk.<ref name = Bohm/>

Det ble snart klart at å betrakte bølgefunksjonen som en [[bølge]] i klassisk fysikk var villedende. For eksempel hvis man betrakter Schrödinger-ligningen for [[Schrödinger-ligning#to partikler|to partikler]],

: <math> \Big[{\hat\mathbf{p}_1^2\over 2m_1} + {\hat\mathbf{p}_2^2\over 2m_2} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2) \Big] \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) = E \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) </math>

så beskriver ikke funksjonen <math>\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2) </math> noen bølge i det tredimensjonale rommet eller to bølger som følger hver av partiklene i dette rommet. I alminnelighet kan man kun si at det er en kompleks funksjon i et seksdimensjonalt rom.

Eksperimentene til [[Clinton Davisson|Davisson]], [[Lester Germer|Germer]] og [[George Paget Thomson|George Thomson]] viste at ett elektron hadde bølgeegenskaper under [[diffraksjon|krystalldiffraksjon]]. Men dette interferensfenomenet var vanskelig å kombinere med bildet av et elektron som en partikkel hvis elektriske ladning skulle splittes opp på denne måten.

Den [[København-tolkninga|interpretasjon]] av bølgefunksjonen som er blitt stående, kom [[Max Born]] med allerede i 1926. Den var inspirert av Einstein som hadde foreslått at en klassisk, elektromagnetisk bølge kunne betraktes som en «pilotbølge» som styrte et foton. Ut fra denne analogien mente Born at den kvantemekaniske bølgefunksjonen <math>\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots) </math> kan betraktes som en «sannsynlighetsamplitude» i. den forstand at det absolutte kvadrat

: <math> P(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots) = \psi^*(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots) \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, \ldots) </math>

er proporsjonal med [[sannsynlighet]]en for å finne den første partikkelen i posisjon '''r'''<sub>1</sub>, den andre i punktet '''r'''<sub>2</sub> og så videre.<ref name = Longair/>

For én partikkel som.benyttes for eksempel i et [[dobbeltspalteeksperiment]], vil bølgefunksjon bli en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] <math> \psi_1(\mathbf{r}) + \psi_2(\mathbf{r}) </math>. Sannsynligheten for å detektere partikkelen bak spalten blir da

: <math>\begin{align} P(\mathbf{r}) &= |\psi_1(\mathbf{r}) + \psi_2(\mathbf{r})|^2 \\  &= |\psi_1(\mathbf{r})|^2 +  |\psi_2(\mathbf{r})|^2  + \psi_1^*(\mathbf{r}) \psi_2(\mathbf{r}) + \psi_2^*(\mathbf{r}) \psi_1(\mathbf{r}) \end{align} </math>

[[Fil:Schrödinger cat.png|thumb|270px|Schrödingers katt i levende tilstand.]]
hvor de to siste leddene gir den kvantemekaniske [[Interferens|bølgeinterferensen]]. Selv om partikkelen beskrives som en bølge som strekker seg over hele rommet, vil den bak spalten kun detekteres i diskrete punkt '''r''' og må derfor oppfattes som en partikkel. Man kan ikke forutsi i hvilket punkt dette vil skje, bare sannsynligheten for at en slik observasjon kan gjøres.

Et annet, viktig spørsmål er hvor man skal sette grensen mellom klassisk fysikk og fenomener som må beskrives kvantemekanisk. Hvis man antar at også makroskopiske system som en innestengt  katt i en kasse, kan befinne seg i forskjellige kvantetilstander og superposisjoner av slike, blir man konfrontert med grunnleggende paradokser som ennå ikke er helt avklart. Et godt eksempel på et slikt system er [[Schrödingers katt]]. Spesielt i mer populær litteratur blir slike problemstillinger den dag i dag mye diskutert.<ref name = Ball>P. Ball, ''Beyond Weird'',  Penguin Random House, London (2018). ISBN 978-1-84792457-5.</ref>

===Tidsavhengig Schrödinger-ligning===

Hvordan et kvantesystem forandrer seg med tiden, ble først undersøkt av Schrödinger i ett senere arbeid. Det kan ikke da lenger ha en konstant energi og vil i stedet kunne gå fra en stasjonær tilstand til en annen.  På den måten vil en tidsavhengig beskrivelse kunne forklare kvanteoverganger som for eksempel når et atom plutselig sender ut et foton.

I en stasjonær tilstand har systemet en bestemt energi ''E&thinsp;'' og kan beskrives ved en egenfunksjon av den tidsuavhengige ligningen <math>  \hat{H}\psi = E\psi. </math> Denne bølgefunksjonen har samtidig en frekvens ''&omega;'' = ''E''/''ħ'' og vil ha en tidsavhengighet som må være på formen <math> \exp(-i\omega t) .</math> Den stasjonære Schrödinger-ligningen kan derfor skrives på den ekvivalente formen

: <math>  {H}(\hat\mathbf{p},\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},t) = i\hbar {\partial\over\partial t} \Psi(\mathbf{r},t)  </math>

når den tidsavhengig bølgefunksjonen skrives som <math>  \Psi(\mathbf{r},t)  = \psi(\mathbf{r}) e^{-iEt/\hbar} . </math> Denne formen av ligningen er det nå naturlig å benytte for et kvantesystem som er i en vilkårlig tilstand og ikke nødvendigvis i en egentilstand av Hamilton-operatoren. Den kalles derfor for den tidsavhengige Schrödinger-ligningen.<ref name = Griffiths/>

Dens innhold kan illustreres ved å betrakte et system som ved tiden ''t'' = 0 er i en superposisjon av to tilstander. De betegnes som <math> \psi_1(\mathbf{r}) </math> og <math> \psi_2(\mathbf{r}) </math> og begge antas å være egentilstander av Hamilton-operatoren med energier henholdsvis ''E''<sub>1</sub> og ''E''<sub>2</sub>. I utgangspunktet er systemet da i tilstanden

: <math> \Psi(\mathbf{r},t=0) = C_1\psi_1(\mathbf{r}) + C_2 \psi_2(\mathbf{r}) </math>

hvor ''C''<sub>1,2</sub>  er konstanter som bestemmer sannsynlighetene for at systemet er i den første eller andre tilstanden ved tiden ''t'' = 0. Denne superposisjonen er ikke en egentistand av Hamilton-operatoren. Systemets videre utvikling med tiden er likevel gitt som

: <math> \Psi(\mathbf{r},t > 0) = C_1\psi_1(\mathbf{r})e^{-iE_1t/\hbar}  + C_2 \psi_2(\mathbf{r}) e^{-iE_2t/\hbar} </math>

og vises direkte ved derivasjon å oppfylle den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. Sannsynligheten for å finne partikkelen i et bestemt punkt vil nå variere med tiden. I dette tilfellet vil det utgjøre en oscillasjon med frekvens (''E''<sub>1</sub> - ''E''<sub>2</sub>)/''ħ'' som oppstår fra produktet mellom de to leddene i funksjonen.

Den tidsavhengige Schrödinger-ligningen har samme form som differensialligningen som definerer [[eksponentialfunksjon]]en. Derfor kan også tidsutviklingen finnes mer direkte fra

:  <math>\begin{align} \Psi(t ) &=  e^{-i\hat{H}t/\hbar}\Psi(0) \\ &= \left[1 +  \left(-{it\over\hbar}\hat{H}\right) + {1\over 2!}\left(-{it\over\hbar}\hat{H}\right)^2 + \cdots \right] \Psi(0) \end{align} </math>

så lenge Hamilton-operatoren er uavhengig av tiden. Det vil ikke være tilfelle hvis for eksempel den inneholder et potensial som varierer med tiden. En slik situasjon har man for et atom som vekselvirker med lys. Da kan tidsutviklingen vanligvis kun beregnes med [[Perturbasjonsteori (kvantemekanikk)#Tidsavhengig perturbasjonsteori|perturbasjonsteori]].

I kvantemekanikken har den tidsavhengige Schrödinger-ligningen en helt sentral betydning. Dens form er uavhengig av om den beskriver én eller mange partikler, om disse er ikke-relativistiske eller relativistiske eller om Hamilton-operatoren er eksplisitt tidsavhengig eller ikke. Uansett system har den alltid den samme form

: <math> i\hbar{\partial\over\partial t} \Psi(t) = \hat{H} \Psi(t) </math>

hvor de detaljerte egenskapene til systemet opptrer i Hamilton-operatoren <math> \hat{H} .</math> Denne generelle gyldighet holder ikke bare for systemer bestående av partikler, men også for [[kvanteelektrodynamikk]] og andre  [[kvantefeltteori]]er.<ref name = Weinberg/>