Redigerer Kjeglesnitt (avsnitt)

==Geometriske definisjoner==

=== Ved snitt gjennom en kjegle ===
[[Fil:Conic Section (parameters θ,ϕ).svg|thumb|Definisjon av vinkler ved snitt mellom et plan og en kjegle]] 
Gitt en rett kjegleflate ''A'' med sirkulær basis, der toppvinkelen er lik <math>\phi</math>.   La ''B'' være et plan som skjærer kjegleflaten, med en vinkel <math>\theta</math> relativt til aksen
i kjegleflaten.  Skjæringslinjen mellom de to flatene ''A'' og ''B'' er et kjeglesnitt, og formen på kjeglesnittet avhenger av forholdet mellom de to vinklene: 

:<math>
\begin{alignat}{2}
&0^\circ \le \theta < \phi \qquad &&\text{Hyperbel} \\ [3pt]
&\theta = \phi \qquad && \text{Parabel} \\[3pt]
&\phi < \theta \le 90^\circ \qquad && \text{Ellipse} \\[3pt]
&\theta = 90^\circ \qquad && \text{Sirkel}
\end{alignat}
</math>

Eksentrisiteten til kjeglesnittet er gitt ved<ref name=THOMAS1/>

:<math>e = \frac{\cos \theta}{\cos \phi}</math>

Kjeglesnittene vil være degenererte dersom planet går gjennom toppunktet til kjegleflaten.  

Skjæringslinjen vil også være et kjeglesnitt dersom kjegleflaten er skrå eller har en ellipseformet basis.  

=== Ved brennpunkt og styrelinje ===
[[Fil:Kjeglesnitt.jpg|thumb|280px|For hvert punkt ''P'' på et kjeglesnitt (rødt) er avstanden til brennpunktet ''F'' proporsjonalt med avstanden til direktrisen.]]
Gitt en rett linje og et punkt som ikke ligger på linjen.  Et kjeglesnitt er det geometriske sted for et punkt der avstanden til det valgte punktet er proporsjonal med avstanden til linjen.  Linjen er kalt
''direktrisen'' eller ''styrelinjen'', og punktet er kalt ''fokus'' eller ''brennpunktet''.  

Proporsjonalitetsfaktoren er kalt ''eksentrisiteten'' <math>e</math> til kjeglesnittet.  Et punkt på en parabel ligger like langt fra styrelinjen som fra brennpunktet, og <math>e = 1</math>.  Et punkt på en ellipse
ligger nærmere brennpunktet enn styrelinjen, og <math>e < 1</math>.  For en hyperbel er <math>e > 1</math>, slik at et punkt på kurva ligger lenger fra brennpunktet enn fra styrelinjen.  

En linje gjennom brennpunktet og normalt på styrelinjen er en ''akse'' i kjeglesnittet, og dette vil være symmetrisk om denne aksen. 

En ellipse er symmetrisk om et senterpunkt, og det følger dermed at to sett av brennpunkter/styrelinjer vil gi samme ellipse.  En ellipse har derfor to brennpunkter.  En hyperbel består av to grener, hver med
sin styrelinje og brennpunkt.  En parabel kan også betraktes som å ha to brennpunkt, der det ene ligger i uendelig.   

Definisjonen med bruk av styrelinje og brennpunkt vil ikke inkludere en sirkel som kjeglesnitt, men sirkelen kan betraktes som et grensetilfelle av en ellipse, når eksentrisiteten går mot null.

Når et plan ''A'' skjærer en rett kjegleflate ''K'' med sirkulær basis, så kan en plassere en kule inne i kjeglen, slik at denne tangerer både kjeglen og planet ''A''.  Legger en i tillegg et plan ''B'' gjennom den sirkelen der
kulen tangerer kjegleflaten, så kan en vise at de to planene ''A'' og ''B'' skjærer hverandre langs direktrisen.<ref name=THOMAS1/>  Tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet ''A'' vil være brennpunktet, og dette
gir en sammenheng mellom to geometriske definisjoner av kjeglesnitt.  

=== Ved to brennpunkt ===
[[Fil:Elliko-g.svg|thumb|left|Gartnermetoden for å tegne en ellipse]]

En ellipse kan defineres som det geometriske sted for et punkt der ''summen'' av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant.<ref name=LAW1/>  Dette har gitt opphavet til navnet ''gartnermetoden'' for å tegne en ellipse:
Mellom to påler i jorda kan en knytte et tau som er lenger enn avtanden mellom pålene.  Ved å føre en pinne innenfor tauet, som hele tiden holdes stramt, så vil pinnen tegne en ellipse.   

En sirkel kan defineres som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt senterpunkt.  

En hyperbel kan defineres som det geometriske sted for et punkt der ''differensen'' av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant.<ref name=LAW1/>

=== Andre geometriske steder ===

Det fines mange geometriske vilkår som leder fram til kjeglesnitt som geometrisk sted.  Klassisk var ''Pappos problem'' for et gitt vilkårlig sett av rette linjer:  Finn det geometriske sted slik at produktet av avstandene 
fra punktet til halvparten av linjene er lik produktet av avstandene til den andre halvparten.  Med et odde antall rette linjer må avstanden til én av de rette linjene inngå med kvadratet i det tilhørende produktet.
Det geometriske stedet vil være et kjeglesnitt.