Redigerer Hydrogenatom (avsnitt)

==Schrödinger-ligningen==

En beregning av energinivåene til hydrogenatomet gjennomføres enklest ved bruk av [[Schrödinger-ligning]]en for elektronet som beveger seg i Coulomb-potensialet {{nowrap|''V'' {{=}} -''Ze''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>''r''&thinsp;}} skapt av atomkjernen. Antar man at den er så tung at den reduserte massen kan settes lik med elektronets masse ''m<sub>e</sub>'', tar ligningen formen

: <math> \left[- {\hbar^2\over 2m_e}\boldsymbol{\nabla}^2  - {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}\right] \psi(\mathbf{r}) = E\psi(\mathbf{r}) </math>

Da vekselvirkningen kun avhenger av den radielle avstanden ''r'', kan man med fordel benytte [[kulekoordinater]] '''r''' = (''r'',''&theta;'',''&phi;''). [[Laplace-operator]]en er da

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2 = {\partial^2\over\partial r^2} + {2\over r}{\partial\over\partial r} + {1\over r^2}\!\left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] </math>

Som for alle slike problem med [[Schrödinger-ligning#Rotasjonssymmetri|rotasjonssymmetri]]  representerer de to første leddene her den kvadrerte, radielle impulsen, mens de siste leddene inneholder operatoren for den kvadrerte, [[Kvantemekanikk#Kvantemekanisk impuls|kvantemekaniske impulsen]] til partikkelen. Den har egentilstander som er gitt ved de [[Sfærisk harmonisk funksjon|sfærisk harmoniske funksjonene]] {{nowrap|''Y''<sub>ℓ''m''</sub>(''&theta;,&phi;'')&thinsp;}} definert ved

: <math> \left[{1\over\sin\theta} {\partial\over\partial\theta}\left(\sin\theta{\partial\over\partial\theta}\right) + {1\over\sin^2\theta} {\partial^2\over\partial\phi^2}\right] Y_{\ell m}(\theta,\phi) =  - \ell(\ell + 1) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor heltallet ''m'' ligger i intervallet {{nowrap|- ℓ &le; ''m'' &le; ℓ}} og derfor tar {{nowrap|2ℓ + 1}} forskjellige verdier.<ref name = HW/> Den fulle bølgefunksjonen kan dermed skrives som produktet

: <math> \psi(\mathbf{r}) = R(r)Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor den radielle delen vil tilfredsstille en ordinær [[differensialligning]] som følger fra den opprinnelige Schrödinger-ligningen. Innfører man midlertidig hjelpefunksjonen ''u''(''r'') = ''r''&thinsp;''R''(''r''), tar denne formen

: <math> - {\hbar^2\over 2m_e}{d^2u\over dr^2} + \left[{Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0 r} + {\ell(\ell + 1)\hbar^2\over 2m_e r^2}\right]u(r) = Eu(r) </math>

På store avstander fra atomet går den delen av ligningen i firkantparantesen mot null. For en bundet tilstand av elektronet er energien ''E'' < 0 og bølgefunksjonen må bli forsvinnende liten i dette området. Dette sees også fra ligningen som gir <math> u(r) \propto e^{-\kappa r}</math> hvor parameteren

: <math> \kappa^2 = - {2m_e E\over \hbar^2} </math>

I det motsatte området veldig nær atomkjernen hvor ''r'' &rarr; 0, dominerer leddet med det angulære kvantetallet ℓ i differensialligningen. Beholder man bare dette, ser man at da vil <math> u(r) \propto r^{\ell +1}</math>. Man kan skille ut disse to hovedtrendene i ''u''(''r''&thinsp;) ved å skrive

: <math> u(r) = \rho^{\ell + 1}e^{-\rho/2} L(\rho) </math>

etter å ha innført den dimensjonsløse, radielle avstanden ''&rho;'' = 2''&kappa;r''. Den ikke-trivielle delen av den radielle bølgefunksjonen er da inneholdt i ''L''(''&rho;'') som nå oppfyller differensialligningen

:<math> \rho{d^2L\over d\rho^2} + (2\ell + 2 - \rho){dL\over d\rho} + (\lambda - \ell - 1)L = 0 </math>

hvor parameteren 

: <math> \lambda = {Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar}\sqrt{-{m_e\over 2E}}  </math>

Dette er '''Kummers differensialligning''' som et et spesielt tilfelle av en [[konfluent hypergeometrisk funksjon]].<ref name = MW>  J. Mathews and R.L. Walker, ''Mathematical Methods of Physics'',  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.</ref> Bare når koeffisienten {{nowrap|''n<sub>r</sub>'' {{=}} ''&lambda;'' - ℓ - 1&thinsp;}} er et positivt [[heltall]] eller null, vil løsningen  ''L''(''&rho;'') ikke vokse for raskt når ''&rho;'' &rarr; &infin;. Den er da gitt som et [[Laguerre-polynom]] <math>L^{2\ell + 1}_{n_r}(\rho) </math>. Da er ''&lambda;'' et positivt heltall 

: <math> n = n_r + \ell + 1 </math>

som karakteriserer de kvantiserte energinivåene. Siden disse da blir

: <math> E_n = - {1\over 2}m_e \left({Ze^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar} \right)^2{1\over n^2}, </math>

er ''n&thinsp;'' ikke noe annet enn hovedkvantetallet. Det radielle kvantetallet  ''n<sub>r</sub>'' = 0, 1, 2, 3, ... angir antall nullpunkt i [[polynom]]et  ''L''(''&rho;''). Alle tilstander med samme hovedkvantetall og orbitalt kvantetall 0 &le; ℓ &le; ''n'' - 1 har samme energi. Da hver verdi av ℓ inneholder 2ℓ + 1 tilstander definert ved det magnetiske kvantetallet ''m'',  er det totale antall degenererte tilstander for hver verdi av hovedkvantetallet gitt ved

: <math> \sum_{\ell = 0}^{n-1}(2\ell + 1) = n(n-1) + n  = n^2 </math>

Hvis man i tillegg tar med at elektronet har to forskjellige [[spinn]]retninger, blir degenerasjonsgraden det dobbelt av dette.<ref name = HW/>

===Normaliserte bølgefunksjoner===
[[Fil:Hydrogen Density Plots.png|thumb|500px|Grafisk fremstilling av de laveste bølgefunksjonene <math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi) </math> for hydrogenatomet.]]
Fra Schrödinger-ligningen er dermed de fullstendige egenfunksjonene for elektronet i H-atomet funnet å være

: <math>\psi_{n\ell m}(\mathbf{r}) = N_{n\ell} \rho^\ell e^{-\rho/2}L^{2\ell + 1}_{n_r}(\rho) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

hvor det radielle kvantetallet ''n<sub>r</sub>'' = ''n'' - ℓ - 1 og ''N''<sub>''n''ℓ</sub>&thinsp; er en normeringskonstant som må bestemmes. Den radielle koordinaten er nå

: <math> \rho = {2r\over\hbar}\sqrt{-2m_e E_n} = {2r\over na} </math>

der ''a'' = ''a''<sub>0</sub>/''Z'' kan identifiseres med radius i den innerste, sirkulære banen i en klassisk beskrivelse hvor ''a''<sub>0</sub> er den vanlige Bohr-radius.  Normeringskonstanten ''N''<sub>''n''ℓ</sub>&thinsp; bestemmes nå fra den vanlige betingelsen

: <math> \int\!d^3r \;\psi^*_{n\ell m}(\mathbf{r}) \psi_{n'\ell' m'}(\mathbf{r}) = \delta_{nn'}\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'} </math>

som uttrykker at disse løsningene danner et [[kvantemekanikk|orthonormalt sett]] av tilstander.<ref name = BJ> B.H. Bransden and C.J. Joachain, ''Quantum Mechanics'', Prentice Hall, New York (2000). ISBN 978-0-582-35691-7.</ref>

Bølgefunksjonene tar nå formen

: <math> \psi_{n\ell m}(r,\theta,\phi)  =  R_{n\ell}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi) </math>

med den radielle delen

: <math>  R_{n\ell}(r) = N_{n\ell}(2r/na)^\ell e^{-r/na} L^{2\ell + 1}_{n - \ell - 1}(2r/na) </math>

Da normeringesintegralet på denne måten er blitt redusert til det radielle integralet

: <math> \int_0^\infty\!dr r^2  R^2_{n\ell}(r) = 1, </math>

kan normeringskonstantene bestemmes til å være

: <math> N_{n\ell} = {2\over n^2}\sqrt{(n - \ell - 1)!\over a^3(n + \ell)!} </math>

Ved å benytte uttrykkene for de laveste [[Laguerre-polynom]]ene blir dermed de tilsvarende, radielle bølgefunksjonene

: <math>\begin{align}R_{1s}(r) &= \sqrt{4\over a^3}e^{-r/a} \\ R_{2s}(r) &=  \sqrt{1\over 8a^3}\left(2 - {r\over a}\right)e^{-r/2a} \\
R_{2p}(r) &=  \sqrt{1\over 24a^3}{r\over a} e^{-r/2a} \end{align}</math>

De to ''s''-tilstandene her har den egenskapen at de tilsvarende bølgefunksjonene har en endelig verdi når ''r'' &rarr; 0. Det betyr at elektronet har en viss sannsynlighet for også å befinne seg inni atomkjernen. Dette er en egenskap ved alle slike tilstander med ℓ = 0 og følger fra den spesielle verdien <math>L^1_{n-1}(0) = n</math> for Laguerre-polynomet. Generelt har man dermed en verdi 

: <math> \psi_{n00}(\mathbf{r} = 0) = {2\over n^2}\sqrt{(n-1)!\over a^3 n!} {n\over\sqrt{4\pi}} = \sqrt{1\over \pi a^3n^3} </math>

for den fulle bølgefunksjonen i dette spesielle punktet. Den kan observeres direkte i [[hyperfinstruktur]]en til hydrogenatomet.<ref name = BJ/>