Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Hamilton-Jacobi-ligningen==

Med en matematisk løsning av Hamiltons ligninger mener man vanligvis at man kan bestemme funksjonene ''q<sub>n</sub> = q<sub>n</sub>(q<sub>0</sub>&thinsp;,p<sub>0</sub>&thinsp;,t)'' og ''p<sub>n</sub> = p<sub>n</sub>(q<sub>0</sub>&thinsp;,p<sub>0</sub>&thinsp;,t)'' som beskriver den fulle bevegelsen av systemet med partikler ut fra gitte verdier ''q<sub>0</sub>'' og ''p<sub>0</sub>'' ved et tidligere tidspunkt ''t<sub>0</sub>&thinsp;''. Selv om dette kun er praktisk mulig i noen få, spesielle tilfeller, kan man nå ved hjelp av kanoniske transformasjoner i alle fall tenke seg til at man finner en genererende funksjon ''S(q,P,t)'' som er slik at den transformerte Hamilton-funksjonen ''H' = 0''.  Fra Hamiltons ligninger følger da at de nye koordinatene ''Q'' og ''P'' alle er konstante. Dette er den mest enkle løsning man kan tenke seg.

Uttrykt ved den opprinnelig Hamilton-funksjonen ''H = H(q,p,t)'' hvor ''p = &part;&thinsp;S/&part;&thinsp;q&thinsp;'', tilsvarer  ''H' = 0'' at

: <math> H\Big(q,{\partial S\over\partial q}, t\Big) + {\partial S\over\partial t} = 0 </math>

Denne [[differensialligning]]en kalles for '''Hamilton-Jacobi-ligningen'''. Løsningen gir denne meget spesielle, genererende funksjonen  ''S = S(q,P,t)'' som da i prinsippet gir den fullstendige løsningen av dette mekaniske problemet.

Det er ikke uten grunn at denne genererende funksjonen betegnes med symbolet ''S'' som tilsvarer hva som brukes for Hamiltons prinsipale funksjon. Regner man uten den totalderiverte av den med hensyn på tiden, finner man

:<math> {dS\over dt} = {\partial S\over\partial q}\cdot\dot{q} + {\partial S\over\partial t} = p\cdot\dot{q} - H = L </math>

som er akkurat definisjonen av denne funksjonen som også kalles for Hamiltons virkning.

Sammenhengen med det opprinnelige problemet uttrykt i koordinatene ''q'' og ''p'' følger nå fra transformasjonsligningene. Fra den første transformasjonsligningen ''p<sub>n</sub> = &part;&thinsp;S/&part;&thinsp;q<sub>n</sub>'' kan man ved begynnelsestidspunktet ''t<sub>0</sub>&thinsp;'' bestemme de ukjente ''P<sub>n</sub>'' fra begynnelsesverdiene ''q<sub>0</sub>'' og ''p<sub>0</sub>&thinsp;''. Og når dette er gjort, kan man bruke den andre transformasjonsligningen ''Q<sub>n</sub> = &part;&thinsp;S/&part;&thinsp;P<sub>n</sub>'' ved tidspunktet ''t<sub>0</sub>&thinsp;'' til å bestemme ''Q<sub>n</sub>'' på samme måte. Ved et senere tidspunkt kan man så bruke denne ligningen til å finne ''q<sub>n</sub> = q<sub>n</sub>(Q,P,t)'' som er løsningen man er på jakt etter. Hvordan alt dette kan matematisk foregå, ble først grundig analysert av den tyske matematiker [[Carl Gustav Jacob Jacobi|Carl Gustav Jacobi]] noen få år etter at Hamilton hadde utviklet denne formuleringen.

For systemer med konstant energi ''E'' kan Hamilton-Jacobi-ligningen omformes ved å benytte at ''S = W - Et'' hvor ''W'' er den karakteristiske funksjonen. Da tar ligningen formen

: <math>     H\Big(q,{\partial W\over\partial q}\Big) = E    </math>

Den spilte en viktig rolle de første årene i utviklingen av [[kvantemekanikk]]en og spesielt i [[WKB-approksimasjon|Bohr-Sommerfeld-kvantisering]] av elektronbevegelsen i de enkleste atomene. For [[hydrogenatom]]et kan den løses eksakt.

===Eksempel===

For enkelt å illustrere bruk av Hamilton-Jacobi-ligningen, kan man igjen benytte den 1-dimensjonale harmoniske oscillatoren. Med konstant energi blir da ligningen

: <math> {1\over 2m}\Big({dW\over dq}\Big)^2 + {1\over 2}m\omega^2q^2  = E </math>

Løsningen av denne er gitt ved integralet

: <math> W = \int\!dq\sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2} </math>

som ganske lett kan finnes ved elementære funksjoner. Men hvis man kun er interessert i finne et uttrykk for selve bevegelsen som funksjon av tiden, kan man her benytte direkte at ''t = &part;&thinsp;W/&part;&thinsp;E'' som gir

: <math> t = \int {mdq\over\sqrt{2mE - m^2\omega^2 q^2}} </math>

Dette er samme integralet som oppsto tidligere ved direkte bruk av Hamiltons ligninger. Det gir igjen

: <math> q(t) = \sqrt{{2E\over m\omega^2}} \sin(\omega t - \phi_0)  </math>

hvor ''&phi;<sub>0</sub>'' er en integrasjonskonstant som kan bestemmes enklest fra oscillatorens posisjon ''q<sub>0</sub>'' ved tidspunktet ''t<sub>0</sub> = 0&thinsp;''.