Redigerer Funksjon (matematikk) (avsnitt)

=== Som implisitt funksjon ===

Mange binære relasjoner mellom to mengder <math>D</math> og <math>C</math> vil være av en slik form at de for hvert element i <math>x \in D</math> entydig definerer et element <math>y \in C</math>.  Slike relasjoner
vil definere en ''implisitt funksjon''<ref name=THOMAS2/>  Den binære relasjonen som definerer den implisitte funksjonen, er som oftest en ligning.  Inverse funksjoner er en type funksjoner som er definert implisitt, 
ved en enkel ligning <math>y = f(x)</math>.  

Som et eksempel vil ligningen for enhetssirkelen

:<math>x^2 + y^2 = 1</math>

være en relasjon mellom <math>x</math> og <math>y</math>.  For for de fleste verdiene av <math>x</math> i intervallet [-1,1] definerer denne ''to'' verdier av <math>y</math>, en positiv og en negativ. 
Det vil si at relasjonen definerer ''to'' funksjoner implisitt, en med verdimengde [-1,0] og en med verdimengden [0,1].  I dette enkle tilfellet er det mulig å uttrykke de to funksjonene ''eksplisitt'':

:<math>
\begin{alignat}{3}
f(x) &=  &\sqrt{1 - x^2} \qquad x \in [-1,1] \\[4pt]
g(x) &= -  &\sqrt{1 - x^2} \qquad x \in [-1,1] 
\end{alignat}
</math>

I mer kompliserte tilfeller er det ikke mulig å definere en implisitt funksjon på en eksplisitt form.  

Tilstrekkelige vilkår for at en funksjonsrelasjon <math>F(x_1, x_2, x_3, ....,x_n, y) = 0</math> definerer <math>y</math> implisitt som funksjon av <math>(x_1, x_2, ..., x_n)</math> er gitt ved 
''det implisitte funksjonsteorem''.<ref name=APOSTOL/>