Redigerer Eulers tall (avsnitt)

==Steiners problem==
[[Fil:Mplwp Steiners problem.svg|thumb|360px|Funksjonen  ''x''<sup>1/''x''</sup>&thinsp; har et maksimum for ''x'' = ''e''.]]

Den direkte sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og logaritmefunksjonen har mange praktiske anvendelser. Et eksempel er forbundet med den sveitsiske matematiker [[Jakob Steiner]]. Han viste rundt 1850 at Eulers tall kunne defineres som det positive, relle tallet ''x'' hvis ''x''-te rot er størst mulig.<ref> H. Dörrie, ''100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions'', Dover Publications, New York (1965). ISBN 0-486-61348-8.</ref> Det tilsvarer å vise at ''e'' er maksimum til funksjonen

: <math> f(x) = x^{1/x} </math>

som kan skrives om til

: <math> f(x) = e^{(1/x)\ln x} </math>

Ved et maksimum må den deriverte <math> {d\over dx} f(x) =  {1\over x^2}e^{(1/x)\ln x}\Big(\ln x - 1\Big) </math>

være null. Det betyr at  ln&thinsp;''x'' = 1 som tilsvarer løsningen ''x'' = ''e''. Maksimalverdien i dette punktet er ''e''<sup>1/''e''&thinsp;</sup> som numerisk blir {{nowrap|1,444 667 861... .}}

På samme måte kan vises at funksjon ''x<sup>x</sup>''&thinsp; har et minimum for ''x'' = 1/''e''.