Redigerer Entropi (avsnitt)

===Gibbs paradoks===

Bruk av ren termodynamikk gir en entropi for ideell gass som ikke er ekstensiv. Det kommer tydelig frem ved å betrakte  et volum ''V'' med gass ved temperatur ''T'' og så plassere et tilsvarende volum ved siden av. Når så skille mellom disse to gassene fjernes, har vi den dobbelte mengde med gass som befinner seg i det doble volum ''2V''. Temperaturen forblir den samme da gassen er ideell. Den termodynamiske entropiformelen sier nå at entropien dermed øker med {{nowrap|&Delta;''S'' {{=}} ''2nR'' ln&thinsp;(''2V'' - ln''V'') {{=}} ''2nR'' ln 2.}} Men det kan ikke stemme da de to gassene er identiske og vi kan ikke se noen forskjell når de kommer sammen. Derimot ville dette resultatet være den korrekte økningen av entropien ved å la to ''forskjellige'' gasser blande seg sammen på denne måten. Dette kalles ''Gibbs paradoks''.

Problemet ble undersøkt av Gibbs som påpekte at løsningen måtte ligge i akkurat det at partiklene i gassen er identiske og kan ikke skilles fra hverandre. Hadde man brukt Boltzmanns metode til å beregne entropien, skulle man derfor redusere antall mikrotilstander ''W'' med ''N!''. Dette er antall måter som man kan bytte om på ''N'' forskjellige objekt og skulle ikke her ha noen konsekvens da partiklene er identiske.

Dermed reduseres entropien med ''k<sub>B</sub>'' ln''N!'' = ''k<sub>B</sub>''&thinsp;(''N'' ln ''N'' - ''N''&thinsp;) når man bruker [[Stirlings formel]] for ''N!''. Det er en meget god approksimasjon her da antall partikler ''N'' i volumet er antatt å være et meget stort tall. Dermed finner man den nye entropiformelen

:<math>  S(V,T,N) = N k_B\left[{3\over 2}\ln {T\over T_0}   + \ln {V\over N V_0} + 1\right] </math>

siden ''N&thinsp;k<sub>B</sub>'' = ''nR'' uttrykt ved antall [[mol]] ''n'' i gassen. Dobles nå både ''V'' og ''N'', ser vi at entropien også dobles - som den skal for en ekstensiv variabel. Forholdet &rho; = ''N/V'' er tettheten av partikler.

Denne modifiserte formelen løser også Gibbs paradoks. Ser vi bort fra de leddene som er konstante,  er entropien før de to gassene blander seg, {{nowrap|''S''<sub>1</sub> {{=}} 2''N&thinsp;k<sub>B</sub>&ensp;''ln&thinsp;(''V/N''&thinsp;)}} da hver av dem med ''N'' partikler befinner seg i separate volum ''V''.  Etterpå har vi ''2N'' partikler i et kombinert volum ''2V'' og derfor med entropi {{nowrap|''S''<sub>2</sub> {{=}} 2''N&thinsp;k<sub>B</sub>&ensp;''ln&thinsp;(''2V/2N''&thinsp;) {{=}} ''S''<sub>1</sub>.}} Derfor er det ingen økning av entropien og ikke lenger noe paradoks. I tilfelle at vi kan skille de to gassene, gir denne modifiserte formelen samme blandingsentropi som før.