Redigerer Dirac-ligning (avsnitt)

===Frie spinorer===
Beskrivelsen av relativistiske partikler er litt enklere når man benytter [[måleenhet]]er hvor [[lyshastighet]]en ''c'' = 1. En fri partikkel har da en [[Kovariant relativitetsteori#Fireimpuls|4-impuls]] <math> p^\mu = (p_0, \mathbf{p}) </math> der dens energi <math> p_0 = \pm E</math> er gitt ved [[Kovariant relativitetsteori#Fireimpuls|massebetinelsen]] 

: <math> p^\mu p_\mu = \eta_{\mu\nu}p^\mu p^\nu = p^2 = p_0^2 - \mathbf{p}^2 = m^2 </math>

og kan være både positiv og negativ. Dirac-spinoren for en fri partikkel med positiv energi har da form som en  [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]]

: <math> \psi(x) = u(p) e^{-ip\cdot x/\hbar} </math>

der formen til impulsspinoren ''u''&thinsp;(''p'') er bestemt av Dirac-ligningen. Den gir nå

: <math> (p\!\!\!/ - m) u(p) = 0 </math>

når man benytter [[Richard Feynman|Feynmans]] slashnotasjon <math> p\!\!\!/ :=  p^\mu\gamma_\mu </math> som gir mer kompakte formler.<ref name = QED> R.P. Feynman, ''Quantum Electrodynamics'', Frontiers in Physics, W.A. Benjamin Inc, New York (1961), online [https://archive.org/details/ost-physics-feynman-quantumelectrodynamics/mode/2up?view=theater archive.org]</ref> Ved å splitte spinoren opp i store og små komponenter, er nå disse bestemt ved matriseligningen

: <math>  \begin{pmatrix} p_0 - m & -\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}  \\ \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}   & - p_0 - m \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \phi \\ \chi \end{pmatrix} = 0 </math>

Da nå <math> p_0 = + E, </math> kan de små komponentene finnes fra

: <math> \chi = {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m} \phi </math>

Dermed tar den fulle impulsspinoren formen

: <math> u(+E, \mathbf{p}) = A\begin{pmatrix} 1 \\  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \end{pmatrix} \phi </math>

hvor ''A&thinsp;'' er en normeringskonstant og den nøyaktige formen til 2-komponentspinoren <math> \phi </math> er bestemt av spinnretningen til partikkelen.<ref name = Sakurai/>

Når både partikkelens energi <math> p_0 = - E </math> og  3-impuls er negative, er den tilsvarende løsningen

: <math> u(-E, - \mathbf{p}) = B \begin{pmatrix}  {\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p}\over E + m}  \\ 1 \end{pmatrix} \chi </math>

der ''B&thinsp;'' igjen er en normeringskonstant. Denne impulsspinoren for negative energier betegnes vanligvis <math> v(p) </math> og kan også finne fra matriseligningen 

: <math> (p\!\!\!/ + m) v(p) = 0 </math>

der nå <math> p^\mu = (E, \mathbf{p}). </math> Ved å la Dirac-spinoren <math> \psi(x) </math> ikke lenger betegne en èn-partikkel bølgefunksjon, men et relativistisk [[kvantefeltteori|kvantefelt]], vil disse spinorløsningene med negativ energi beskrive [[antipartikkel|antipartikler]].<ref name = PS/>