Redigerer
Bohr-Sommerfeld-kvantisering
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Hydrogenatomet== Ved bruk av [[kulekoordinater]] (''r,θ,φ'') i [[massesenter]]et for [[hydrogenatom]]et tar den [[kinetisk energi|kinetiske energien]] til [[elektron]]et formen : <math> K = {m\over 2} \Big(\dot{r}^2 + r^2\dot{\theta}^2 + r^2\!\sin^2\!\theta\,\dot\phi^2 \Big) </math> hvor ''m'' er den [[Tolegemeproblem#Redusert masse|reduserte massen]] til elektronet i sin bevegelse rundt [[atomkjerne]]n. Den skyldes [[Coulombs lov|Coulomb-kraften]] mellom disse to partiklene og beskrevet ved den [[potensiell energi|potensielle energien]] {{nowrap|''V'' {{=}} -''e''<sup> 2</sup>/4''π ε''<sub>0</sub>''r'' }} når atomkjernen er et [[proton]] med [[elektrisk ladning]] +''e''. Siden denne kraften har samme matematiske form som [[Newtons gravitasjonslov]], vil de bundne banene til elektronet i alminnelighet være [[ellipse]]r på samme måte som for [[planet]]ene i deres beveglse om [[Solen]] og beskrevet ved [[Keplers lover]]. De [[Lagrange-mekanikk|kanoniske impulsene]] til elektronet er gitt som : <math> p_r = {\partial K\over\partial\dot{r}} = m \dot{r}, \;\; p_\theta = {\partial K\over\partial\dot{\theta}} = m r^2\dot{\theta}, \;\; p_\phi = {\partial K\over\partial\dot{\phi}} = m r^2\!\sin^2\!\theta\,\dot{\phi} </math> Uttrykt ved disse impulsene er dermed den totale energien til elektronet gitt som : <math> E = {1\over 2m} \Big(p_r^2 + {p_\theta^2\over r^2} + {p_\phi^2\over r^2\sin^2\theta}\Big) - {e^2\over 4\pi\varepsilon_0 r}</math> Denne er konstant under bevegelsen. Men også ''p<sub>φ</sub> '' er en bevegelseskonstant da energien er uavhengig av den asimutale vinkelen ''φ''. Bohr-Sommerfeld-kvantisering gir nå at den tar verdiene {{nowrap|''p<sub>φ</sub>'' {{=}} ''n<sub>φ</sub>ħ ''}} for heltallige kvantetall ''n<sub>φ</sub>''. I tillegg ser man fra energiuttrykket at når alene vinkelen ''θ '' varierer, må kombinasjonen : <math> p_\theta^2 + {p_\phi^2\over\sin^2\theta} \equiv p_\psi^2 </math> være en bevegelseskonstant uttrykt ved størrelsen ''p<sub>ψ</sub>''. Den representerer den totale dreieimpulsen for bevegelsen av elektronet, mens ''p<sub>φ</sub> '' angir projeksjonen av denne på ''z''-aksen. Kvantisering av den meridonale komponenten ''p<sub>θ</sub> '' gir nå kvantebetingelsen : <math> 2\int_{\theta_{min}}^{\theta_{max}}\!d\theta\sqrt{p_\psi^2 - p_\phi^2/\sin^2\theta} = n_\theta h </math> På venstre side opptrer det samme integralet som for den lineære rotatoren. Her gir det 2''π'' (''p<sub>ψ</sub>'' - ''p<sub>φ</sub>'') som betyr at dreieimpulsen tar de kvantiserte verdiene : <math> p_\psi = (n_\theta + n_\phi)\hbar </math> Den radielle impulsen ''p<sub>r</sub> '' til elektronet kan nå finnes som en ren funksjon av avstanden ''r '' fra atomkjernen, : <math> p_r = \pm\sqrt{2mE + {2me^2 \over 4\pi\varepsilon_0 r} - {p_\psi^2\over r^2}} </math> Her beskriver det øverste fortegnet den del av [[Keplers lover|Kepler-bevegelsen]] der radius øker fra en minimal avstand ''r<sub>min</sub> '' til en maksimal avstand ''r<sub>max</sub>''. Disse to vendepunktene tilsvarer at {{nowrap|''p<sub>r</sub>'' {{=}} 0 }} og kan uttrykkes ved store ''a'' og lille halvakse ''b'' til [[ellipse]]n. De kan defineres ved : <math> a = {me^2 \over 4\pi\varepsilon_0 (-2mE)}, \; \; \; b = {p_\psi\over\sqrt{-2mE}} </math> slik at : <math> p_r = \pm\sqrt{-2mE}\Big(-1 + {2a\over r} - {b^2\over r^2}\Big)^{1/2} </math> Herav finnes vendepunktene som ''r<sub>min</sub>'' = ''a - c '' og ''r<sub>max</sub>'' = ''a'' + ''c '' hvor lengden ''c'' er gitt ved den vanlige sammenhengen {{nowrap|''a''<sup> 2</sup> {{=}} ''b''<sup> 2</sup> + ''c''<sup> 2</sup>}}. Bohr-Sommerfeld-kvantisering av den radielle bevegelsen gir nå : <math> 2\sqrt{-2mE}\int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr \Big(-1 + {2a\over r} - {b^2\over r^2}\Big)^{1/2} = 2\pi\sqrt{-2mE}(a - b) = n_r h</math> hvor integralet kan beregnes på forskjellige måter.<ref name = Longair> M. Longair, ''Quantum Concepts in Physics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-1-107-01709-2.</ref> Resultatet for energinivåene i hydrogenatomet følger herav som : <math> E_n = - {m\over 2n^2}\Big({e^2\over 4\pi\varepsilon_0\hbar}\Big)^2 </math> etter å ha innført '''hovedkvantetallet''' {{nowrap|''n'' {{=}} ''n<sub>ψ</sub>'' + ''n<sub>r</sub>''}}. Dette er i overensstemmelse med hva som følger fra den opprinnelige [[Bohrs atommodell]] hvor man skriver det asimutale kvantetallet {{nowrap|''k'' {{=}} ''n<sub>ψ</sub>'' {{=}} 1,2,3, ... }}. Fra moderne [[kvantemekanikk]] følger det at ''k'' = ℓ + 1 hvor det orbitale kvantetallet tar verdiene {{nowrap|ℓ {{=}} 0,1,2,...}} på samme måte som for det radielle kvantetallet ''n<sub>r</sub>''. Da har man for hovedkvantetallet {{nowrap|''n'' {{=}} ℓ + ''n<sub>r</sub>'' + 1}}. ===Beregning av integral=== Det radielle integralet kan gjøres på forskjellige måter. Opprinnelig ble det beregnet av Sommerfeld ved integrasjon i det [[komplekst tall|komplekse planet]].<ref name = Sommerfeld/> Alternativt kan man splitte det opp som : <math> J = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr \Big(-1 + {2a\over r} - {b^2\over r^2}\Big)^{1/2} = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr {2a - r - b^2/r \over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math> hvor hvert av de tre delintegralene kan utføres på mer konvensjonell måte. Defineres det første som : <math> J_1 = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{a - r \over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math>, kan man innføre en ny integrasjonsvariabel definert ved å sette ''r'' = ''a'' + ''cs''. Da vil ''r<sub>min</sub> '' tilsvare ''s'' = -1, mens ''r<sub>max</sub> '' fremkommer for {{nowrap|''s'' {{=}} 1}}. Det viser at : <math> J_1 = c\int_{-1}^1\!ds {s\over\sqrt{1 - s^2}} = 0 </math> da integranden skifter foretegn under integrasjonen og derfor gir to bidrag som opphever hverandre. I det andre integralet : <math> J_2 = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{a\over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math> kan man skifte til en annen integrasjonsvariabel definert ved ''r'' = ''a'' + ''c'' cos''u''. Da vil ''r<sub>min</sub> '' tilsvare {{nowrap|''u'' {{=}} ''π ''}}, mens {{nowrap|''r<sub>max</sub> ''}} tilsvarer {{nowrap|''u'' {{=}} 0}}. Samtidig blir differensialet {{nowrap|''dr'' {{=}} - ''c'' sin''u'' ''du''}} hvor : <math> c\sin u = \sqrt{2ar - r^2 - b^2} </math> Det betyr at ''J''<sub>2</sub> = ''π a''. På samme måte kan man i det tredje integralet : <math> J_3 = \int_{r_{min}}^{r_{max}}\!dr{b^2/r\over\sqrt{2ar - r^2 - b^2}} </math> skrive ''b''<sup> 2</sup>/''r'' = ''a'' + ''c'' cos''v '' hvor nå ''r<sub>min</sub> '' fremkommer for {{nowrap|''v'' {{=}} 0&thinsp∞}} og {{nowrap|''r<sub>max</sub> ''}} for {{nowrap|''v'' {{=}} ''π ''}}. Videre er : <math> {b^2\over r^2}dr = c\sin v dv = {b\over r}\sqrt{2ar - r^2 - b^2} dv </math> Dermed har man for det tredje integralet at ''J''<sub>3</sub> = ''π b''. Da hele det radielle integralet er {{nowrap|''J'' {{=}} ''J''<sub>1</sub> + ''J''<sub>2</sub> - ''J''<sub>3</sub>}}, har det verdien {{nowrap|''J'' {{=}} ''π'' (''a'' - ''b'')}}.
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon