Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

===Partikkel i kassepotensial===
[[Fil:Infinite potential well-en.svg|thumb|200px|Potensialet er null inni kassen og. uendelig stort utenfor.]]
Når partikkelen befinner seg i et konstant, negativt potensial som har en endelig utstrekning, sies den å befinne seg i en ''kasse'' eller «brønn». Schrödinger-ligningen har da stasjonære løsninger som beskriver partikkelen permanent lokalisert eller bunden til potensialet. Slike løsninger finnes bare for diskrete verdier av dens energi ''E'' som dermed blir [[kvantisering (fysikk)|kvantisert]].

Enklest er å betrakte en uendelig dyp brønn. Hvis man da måler energier i forhold til dens bunn, vil alle disse måtte være postive. Potensialet utenfor brønnen er da også positivt og uendelig stort. Bølgefunksjonene kan ikke trenge inn i dette slik at de må alle være null ved brønnens overflate som i dette endimensjonale tilfellet tilsvarer to punkt. Har brønnen utstrekning ''L'', og origo til ''x''-aksen er plassert i dens midtpunkt, må alle bølgefunksjonene være null i punktene {{nowrap|''x'' {{=}} &plusmn; ''L''/2}}.

[[Fil:particle in a box wavefunctions 2.svg|left|thumb|150px|De fire laveste egen-funksjonene i kassen.]]
Da dette brønnpotensialet er symmetrisk om origo ''x'' = 0, vil også bølgefunksjonene ha en tilsvarende symmetri. Det tilsvarer [[paritet (fysikk)|paritet]] i tre dimensjoner. For en partikkel med energi <math> E = \hbar^2k^2/2m </math> har bølgefunksjonen inni brønnen den generelle formen <math>  \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} </math>. Disse funksjonene er nå symmetriske eller antisymmetriske under ''x'' &rarr; -''x&thinsp;'' bare når ''B'' = &plusmn;''A''. Det tilsvarer løsninger <math> \psi_+ = C\cos kx </math> med positiv paritet eller <math> \psi_- = C\sin kx </math> med negativ paritet.<ref name = Eisberg/>

Grensebetinngelsene ''&psi;''(&plusmn; ''L''/2) = 0 gir nå de kvantiserte bølgetallene {{nowrap|''k<sub>n</sub>'' {{=}} ''n&pi;''&thinsp;/''L''}} hvor ''n&thinsp;'' er et [[oddetall]] for løsningene med positiv paritet og et [[partall]] for de som har negativ paritet. De kan sammenfattes som

: <math>\psi_n (x) = \begin{cases} C \cos (n\pi x/ L), \;\; n = 1,3,5 \ldots \\ C\sin (n\pi x/ L), \, \;\; n = 2,4,6 \ldots 
\end{cases}</math>

De tilsvarende egenverdiene for energien kan skrives som

: <math> E_n = {\hbar^2\pi^2\over 2mL^2}n^2 </math>

som gjelder for både ikke og odde verdier av [[kvantetall]]et ''n''.  Det er uendelig mange slike løsninger for dette tilfellet med en  uendelig dyp brønn.

Når partikkelen er i en kasse med endelig dybde ''V''<sub>0</sub> kan man gå frem på samme måte. Bølgefunksjonene inni kassen vil fremdeles være av formen <math> \psi_+ = C\cos kx </math> eller <math> \psi_- = C\sin kx </math>  der <math> k = \sqrt{2mE}/\hbar </math> avhengig av pariteten. Utenfor kassen vil de ikke lenger plutselig bli null, men falle av eksponensielt som <math> \exp(-\kappa x)</math> for ''x'' > ''L''/2 hvor denne gangen <math> \kappa = \sqrt{2m(V_0 - E)}/\hbar </math>. Da de deriverte av bølgefunksjonene må være kontinuerlige ved ''x'' = &plusmn; ''L''/2, gir dette kravet de to betingelsene

: <math> \begin{cases} \kappa = + k\tan(kL/2),  \;\; \text{positiv paritet}  \\ \kappa = - k\cot(kL/2), \;\; \text{negativ paritet}
\end{cases}</math>

for bestemmelse av mulige verdier for energien ''E''. Dette kan ikke lenger gjøres eksakt, men appproksimativt med numeriske metoder. Man finner på denne måten nå bare et endelig antall slike bundne løsninger. Grunntilstanden er den med lavest energi og har alltid positiv paritet.<ref name = Liboff> R.L. Liboff, ''Introductory Quantum Mechanics'', Pearson Education, New Jersey (2003). ISBN 0-8053-8714-5.</ref>