Redigerer Projektivt plan (avsnitt)

== Dualitet ==
Allerede i de fundamentale postulatene er det en symmetri mellom punkt og linjer i det projektive planet. To punkt definerer alltid en linje, mens to linjer definerer et entydig punkt. Denne symmetrien kalles en ''dualitet'' mellom punkt og linjer i planet og forblir intakt når man så betrakter mer kompliserte situasjoner. Et punkt er dual  til en linje, mens en linje er dual til et punkt. For hver geometrisk konstellasjon av ''n'' punkt og ''m'' linjer, vil det eksistere en dual konstellasjon med ''m'' punkt og ''n'' linjer.  

[[Fil:Trekant.jpg|thumb|240px|En trekant i det projektive planet kan beskrives ved tre hjørner eller ved tre sider. Den er selvdual.]]
Denne dualiteten sees også når homogene koordinater blir benyttet. Hver geometrisk sammenheng kan uttrykkes som en ligning i punktkoordinater, linjekoordinater eller begge deler. For en ligning som involverer kun punktkoordinater, finnes det en dual ligning som inneholder bare linjekoordinater og omvendt. Ligningen {{nowrap|''x''<sub>1</sub>''n''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>''n''<sub>2</sub> + ''x''<sub>3</sub>''n''<sub>3</sub> {{=}} 0}} er '''selvdual''' da den går over i seg selv under en slik dualisering. Det tilsvarer at den kan beskrive enten punkter på linjen {{nowrap|[''n''<sub>1</sub>,''n''<sub>2</sub>,''n''<sub>3</sub>]}} eller linjer gjennom punktet  {{nowrap|(''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,''x''<sub>3</sub>).}}  

En trekant er gitt ved tre punkt ''A'', ''B'' og ''C'' som ikke ligger på samme linje. Disse kan forbindes med tre linjer ''a = BC'', ''b = CA'' og ''c = AB'' som er sidene i trekanten. I motsetning til det som er vanlig i euklidsk geometri, ender ikke sidene i de gitt hjørnene i det projektive planet, men går gjennom disse og fortsetter i prinsippet mot uendelig i begge retninger.

Den duale trekanten er på tilsvarende vis definert ved tre linjer ''a'', ''b'' og ''c'' som ikke går gjennom samme punkt. Linjene skjærer hverandre i tre punkt som kan kalles ''A = b&sdot;c'', ''B = c&sdot;a'' og ''C = a&sdot;b'' hvor for eksempel ''b&sdot;c'' står for skjæringspunktet mellom linjene ''b'' og ''c'' etc. Men denne dualiseringen har nå gitt  akkurat samme geometriske konstellasjon av punkter og linjer som i første tilfelle med tre gitte punkt. Derfor er trekanten selvdual i projektiv geometri.
 
=== Duale firkanter ===
[[Fil:Kvadrangel.jpg|thumb|240px|Et [[fullstendig firkant|fullstendig kvadrangel]] beskrives ved fire punkter  ''A'', ''B'', ''A'&thinsp;'' og ''B' ''. De forbindes med seks linjer. Disse skjærer hverandre i tre nye, diagonale punkt  ''D'', ''E'' og ''F''. Punktene ''A'', ''B'', ''C'' og ''D'' er [[harmonisk deling|harmonisk konjugerte]].]]
Mens en vanlig [[firkant]] har fire hjørner og fire sider som er endelige [[linjestykke]]r gjennom disse, er en [[fullstendig firkant]] definert ved fire linjer og vil gi opphav til i alt seks skjæringspunkt som er dens hjørner. På samme måte kan man definere et fullstendig ''kvadrangel'' ved fire punkter som kan forbindes med i alt seks linjer. Derfor vil en firkant definert ved fire hjørner prinsipielt være forskjellig fra en som er definerte ved fire sider. Den ene er dual til den andre.

[[Fil:Kvadrikant.jpg|left|thumb|240px|En [[fullstendig firkant]] beskrives ved fire sider ''a'', ''b'', ''c'' og ''d''. Disse skjærer hverandre i seks hjørner som kan forbindes med tre nye, diagonale linjer ''p'', ''q'' og ''r''.]]
Hvis man kaller de fire hjørnene i et fullstendig kvadrangel for ''A'', ''B'', ''A'&thinsp;'' og ''B' '', kan disse forbindes med seks linjer ''AA'&thinsp;'', ''AB'', ''AB'&thinsp;'', ''BA'&thinsp;'', ''BB'&thinsp;'' og ''A'B'&thinsp;''. Disse vil skjære hverandre i tre nye punkter, ''D = AB&sdot;A'B''', ''E = AA'&sdot;BB'&thinsp;'' og ''F = AB'&sdot;A'B&thinsp;'' som kalles ''diagonale punkt''. Sammen danner disse nye punktene et '''diagonalt triangel''' i denne generaliserte firkanten.

På samme måte vil en  [[fullstendig firkant]] være definert ved fire linjer ''a'', ''b'', ''c'' og ''d''. Disse gir opphav til seks hjørner ''a&sdot;b'', ''a&sdot;c'', ''a&sdot;d'', ''b&sdot;c'', ''b&sdot;d'' og ''c&sdot;d''. Forbindes to og to motsatte hjørner, fremkommer tre ''diagonale linjer'' som igjen danner en '''diagonal trekant'''. 

Disse to geometriske konstellasjonene er duale til hverandre. Begge to spiller en sentral rolle i det projektive planet. For eksempel, så vil to hjørner og to skjæringspunkt med diagonalene på en og samme side i hvert slikt kvadrangel være [[harmonisk deling|harmonisk konjugerte]]. Likedan vil hver side i den diagonale trekanten skjæres av sider i kvadranglet. Disse fire punktene er også harmonisk konjugerte. Dette var allerede kjent for [[Pappos fra Alexandria|Pappos]] og videre utviklet av [[Girard Desargues|Desargues]].