Redigerer Peltonturbin (avsnitt)

=== Peltonturbinens matematiske grunnlag === 
==== Energi og innledende strålehastighet ====
I et ideelt, [[friksjon]]sløst, system vil hele den hydrauliske [[potensiell energi|potensielle energien]] av vannet i kraftverkets inntaksdam (E<sub>p</sub> = mgh) bli omgjort til kinetisk energi i peltonturbinen (E<sub>k</sub> = 1/2mv<sup>2</sup>) (se [[Bernoulli-prinsippet]]). Settes disse to ligningene sammen og løses med hensyn på vannstrålehastigheten fås:

<math>v = \sqrt{2gh}</math>

der:
:v =  vannstrålens hastighet [m/s]
:g = konstanten for tyngdens akaslerasjon 9,81 m/s²
:h = fallhøyden [m] (den vertikal lengdekomponent fra dammens vannspeil til peltonturbinen).

Det vil si at diameteren til vannstrålen eller vannføringen ikke har betydning for hastigheten. Det har dermed ikke noen betydning for vannstrålens hastighet om dysen i peltonturbinen har stor eller liten åpning. 

Hastigheten til vannstrålene i peltonturbinene til Bieudron kraftverket nevnt over, med en fallhøyde på 1883 m, vil med innsetting i formelen ha en hastighet på 192 m/s, eller 692 km/timen. Trykket vil være på nesten 19 MPa (19 millioner [[Pascal (enhet)|pascal]]) ved dysene.

Formelen for [[effekt]] fra en hvilken som helst turbin er:

<math>P=\eta\rho\,gQh\!</math>

der:
* P = effekt [MW]
* η = virkningsgrad i turbinen
* ρ = tettheten av vann 1000 kg/m<sup><small>3</small></sup>
* Q = slukeevne eller vanngjennomstrømning pr tidsenhet [m³/s]
* g = massens aksellerasjon 9,81 m/s²
* h = netto fallhøyde [m]. Det vil si at trykkfallet i turbinrør eller tilløpstunnel må subtraheres.

Brukes igjen Bieudron kraftverket som eksempel ble det nevnt at hver peltonturbin har en ytelse på 423 MW. Antas virkningsgraden å være 92 % ved denne effekten, noe som er vanlig for moderne peltonturbiner,<ref name="Casper">{{Kilde bok| forfatter=Casper Vogt-Svendsen | utgivelsesår=2000 | tittel=Turbiner | utgave=1 | forlag=Elforlaget, Norges Elektroentrepenørforbund | isbn=82-7345-285-9}}</ref> kan en finne slukeevne ved å løse formelen med hensyn på Q og innsetting til 24,6 m³/s.

==== Noen empiriske sammenhenger for konstruksjon ====
Noen typiske forholdstall og sammenhenger for konstruksjon av en peltonturbin er:

* Hastigheten for vannstrålen ut av dysene er redusert med en faktor mellom 0,96<ref name="Hyddyn">{{Kilde bok| forfatter=Alexandre Perrig | utgivelsesår=2007 | artikkel= | tittel=Hydrodynamics of the free surface flow in Pelton turbine buckets | bind= | utgave=  | utgivelsessted=Lausanne | forlag= | isbn= | språk=École polytechnique fédérale de Lausanne | url=http://infoscience.epfl.ch/record/95927.}}</ref> og 0,99.<ref name="Atth">{{Kilde artikkel | forfatter=I.U. Atthanayake | tittel=Analytical Study On Flow Through a Pelton Turbine Bucket Using Boundary Layer Theory | publikasjon=International Journal of Engineering & Technology | språk= | dato=oktober 2009 | url=http://www.ijens.org/1929091%20ijet.pdf | besøksdato=2014-10-25 | arkiv-url=https://web.archive.org/web/20150924033451/http://www.ijens.org/1929091%20ijet.pdf | arkivdato=2015-09-24 | url-status=død }}</ref>
* Vinkelen som vannet gjennomløper fra inngang til utgang av skålene er mellom 165° og 170°.<ref name="Hyddyn" />
* Aksiell utforming av skålene er 3,5 til 4 ganger diameteren av vannstrålen.<ref name="Atth" />
* Antallet skåler på løpehjulet er D/d + 15, der D er diameteren for løpehjulet og d er diameteren til vannstrålen.<ref name="Atth" />
* Forholdet mellom diameteren til løpehjulet og vannstrålen er mindre enn 12.<ref name="Atth" />
* Hastigheten til en peltonturbin er bestemt av generatoren. Følgende formel gjelder: <math> n = {120f \over p}</math> der n [rpm] er turtallet, f [Hz] som er bestemt av kraftsystemet og er konstant lik 50 Hz (i Europa) og p er polpartallet og er et partall fra 2 og oppover. Ved å sette inn i denne formelen finner en at generatorens turtall kan være 3000, 1500, 1000, 750, 600, 500,... rpm.
* Antall dyser er vanligvis ikke mer enn to for peltonturbiner med horisontal aksling, selv om det har vært bygget turbiner noen med flere dyser. Moderne peltonturbiner har som regel vertikal aksling og flere dyser, se illustrasjon helt innledningsvis. Tidligere var det vanlig å sette to løpehjul på samme aksling om en ville ha flere enn to stråler.<ref name="Casper"/>

==== Optimal hastighet for løpehjulet ====
Om en tenker seg et løpehjul til en peltonturbin som holdes helt i ro mens vannstrålen virker på det, vil det ikke utvikles noen effekt. Skal det utvikles et arbeid må det også skje bevegelse. Den andre ytterligheten er at løpehjulet får rotere helt fritt, da vil periferihastigheten bli lik vannstrålens hastighet. Da utvikles det heller ikke noe arbeid fordi det knapt er noen kraft som virker på løpehjulet. For øvrig kalles denne hastigheten for turbinens ''ruseturtall''. Utfordringen er da å finne den hastigheten mellom disse ytterpunktene der det utvikles optimal effekt. Nedenfor skal dette utledes analytisk.

[[Fil:Pelton turbine bucket and velocity vectors..jpg|thumb|400px|Skisse som viser vannstrålen mot en skål på peltonturbinens løpehjul. [[Vektor (matematikk)|Hastighetsvektorer]] med notasjon der 1 betyr inngangshastighet og 2 utgang. Videre står u for rotorens periferihastighet, vannstrålens relative hastighet (i forhold til løpehjulet) er w og c er strålens absolutte hastighet. Med absolutt hastighet menes her den hastigheten en stillestående observatør utenfor rotoren vil oppfatte.]]

Ideelt skal altså forholdene i en peltonturbin være slik at vannet kastes ut av skålene på løpehjulet i en 180° vinkel. Imidlertid er ikke dette tilfellet for en praktisk konstruksjon og vannet forlater skålene i en vinkel på 165° til 170° som nevnt ovenfor. Andre forhold som heller ikke er ideelle er at det oppstår friksjon mellom vann og stål både i dysen og i skålene.<ref name="Atth" /> Dette er forhold som gjør at virkningsgraden er lavere enn 100 % og at en matematisk analyse kan bli komplisert.

[[Turbin#Hovedligningen for turbiner|Eulers turbinligning]] er generell for alle turbiner og forteller om forholdet mellom hastigheten til fluidet og løpehjulet ved inngang og utgang:

:<math> P = \rho Q (u_1 c_{1u} - u_2 c_{2u}) </math>

der:
:<math>\rho</math> = vannets tetthet 1000 kg/m³,
:Q = vannstrømning [m³/s],
:u<sub>1</sub> = [[Vektor (matematikk)|vektor]] for rotorens [[Hastighet|periferihastighet]] ved innløp [m/s²],
:u<sub>2</sub> = vektor for rotorens periferihastighet ved utgangen[m/s²],
:c<sub>1u</sub> = projeksjonen av vannstrålens hastighetsvektor normalt på radius (tangentiell komponent) ved  innløp [m/s²], og
:c<sub>2u</sub> = projeksjonen av vannstrålens hastighetsvektor normalt på radius ved utløp [m/s²].

For en peltonturbin vil vannstrålens ''absolutte hastighet'' (absolutte hastigheten er hastigheten en observatør som står stille og ser inn mot rotoren vil registrere, den er en vektor med både fart og retning.) mot skålene og hastigheten til den tangentielle komponenten på radius ha samme retning, se illustrasjonen til høyre. Den tangentielle hastighetskomponenten ved inngangen c<sub>1u</sub> er derfor lik hastigheten til skålen der strålen treffer den, altså c<sub>1u</sub> = c<sub>1</sub>. Strålens tangentielle komponent ved utløp av skålen er gitt av: c<sub>2u</sub> = u<sub>2</sub> - w<sub>2</sub>cos <math>\beta_2</math>. 

Der vinkelen <math>\beta_2</math> er definert i tegningen over til venstre. Antas det videre at strålen kommer inn på og forlater skålen på samme radielle punkt kan den tangentielle hastigheten settes til  u<sub>1</sub> = u<sub>2</sub> = u. Ved innsetting i Eulers turbinligning fås:

<math> P = \rho Q u (c_{1u} - c_{2u}) = \rho Q u (c_1 - u_2 + w_2 cos \beta_2)  </math>

Av definisjonene av hastighetsvektoren har en at c<sub>1</sub>-u<sub>1</sub> = w<sub>1</sub>. Dermed kan ligningen over omformes til en ligning for effekt i en peltonturbin:

<math> P = \rho Q u (w_1 + w_2 cos \beta_2) </math>

Tapsfaktoren defineres slik: <math> \triangle </math> = 1 – w<sub>2</sub>/w<sub>1</sub>. Denne faktoren forteller om fluidets reduserte hastighet på grunn av friksjon i skålen. Ved innsetting i formelen får likningen denne formen:

<math> P = \rho Q u w_1(1+ (1-\triangle) cos \beta_2) </math>

Videre defineres c<sub>0</sub> som strålens hastighet ut av dysen:

<math> c_0 = k_{c0}\sqrt{2gH} </math>

der k<sub>c0</sub> er et tall mellom 0,96 og 0,99 som nevnt over, og har å gjøre med redusert hastighet gjennom dysen på grunn av friksjon. 

Videre defineres løpehjulets hastighetskoeffisient k<sub>u</sub>:

<math> u = k_u\sqrt{2gH} </math>

Ved innsetting av alle disse nye faktorene fås ligningen for effekt i peltonturbinen på formen:

<math> P = \rho Q k_u\sqrt{2gH}(k_{co}\sqrt{2gH}-k_u\sqrt{2gH}(1+ (1-\triangle) cos\beta_2) = 2\rho gQHk_u(k_{co}-k_u)(1+(1-\triangle) cos \beta_2)</math>

Det som nå er av interesse, er å finne når faktoren k<sub>u</sub> gir forholdene for maksimalt utviklet effekt. Eller sagt på en annen måte: Hvilket forhold må det være mellom vannstrålens hastighet og løpehjulets pereferihastighet for at mest mulig effekt skal utvikles i turbinen? Fra [[matematisk analyse]] vet en at derivering av uttrykket under betingelsen:

<math> {\partial P\over\partial k_u} = 0</math>

gir betingelsene der k<sub>u</sub> gir størst verdi for formelen for P:

<math> {\partial P\over\partial k_u} = (2\rho gQ)(1 + (1-\triangle) cos\beta_2)(k_{c0}-2k_u) = 0</math>

Betingelsen for å få maksimal effekt blir av dette k<sub>u</sub> = k<sub>co</sub>/2. Altså at løpehjulet må ha en hastighet som er noe under halvparten av vannstrålens hastighet (k<sub>u</sub> = 0,48 - 0,495). I praktiske tilfeller viser det seg at effekten blir størst om faktoren er et tall mellom 0,45 og 0,5.<ref name="Hyddyn" />

==== Spesifikk hastighet ====
Et mye brukt system for numerisk klassifikasjon av turbiner er dens ''spesifikke hastighet'', n<sub>s</sub>. Dette tallet beskriver hastigheten av turbinen ved høyeste virkningsgrad med hensyn til effekt og strømningshastighet. Den spesifikke hastighet er avledet slik at den er uavhengig av turbinstørrelse (ytelse). Gitt forholdene for fluidstrømningen og den ønskede hastigheten for akselen, kan den spesifikke hastigheten beregnes og et passende turbindesign velges.

Den spesifikke hastigheten, sammen med noen grunnleggende formler, kan brukes for sikkert å oppskalere et eksisterende turbindesign av kjent ytelsen, til en ny og større/mindre enhet. Dette brukes mye i forbindelse med modelforsøk, der en liten modell av et løpehjul testes og forbedres i et laboratorium. Når optimal utforming er funnet skaleres modellen opp til full størrelse i verkstedet.

Her vises det som et eksempel forholdene for en peltonturbin. Gitt vannmengde, fallhøyde og den ønskede hastigheten til hjulet. Da kan den spesifikke hastigheten beregnes og en passende turbin velges. Formelen for spesifikk hastighet for en vannturbin er:

<math> n_s = {n \sqrt{P} \over H_n^{5/4}} </math> [rpm]<ref>{{Cite book|last=Sayers|first=A. T.|title=Hydraulic and Compressible Flow Turbomachines|year=1990|publisher=Mcgraw Hill Book Co Ltd|isbn=978-0-07-707219-3}}</ref>

der: 
: <math> n </math> = omdreiningstallet [rpm]
: <math> P </math> = effekt [kW]
: <math> H_f </math> = effektiv fallhøyde [m]
: <math> Q </math> = fluidstrøm [m³/s]

En peltonturbin som er vellykket konstruert får en spesifikk hastighet rundt 15.<ref name="jcalvert">{{Cite web|url=http://mysite.du.edu/~jcalvert/tech/fluids/turbine.htm#Impu |title=Technical derivation of basic impulse turbine physics, by J.Calvert |publisher=Mysite.du.edu |date= }}</ref>