Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

==Metriske egenskaper==

De reelle tallene utgjør en tallkropp '''R''' hvor hvert tall kan fremstilles ved et punkt på en linje. Avstanden mellom to slike tall ''x'' og ''y'' er gitt ved den vanlige [[absoluttverdi]]en {{nowrap|''d''(''x,y'') {{=}} |''x - y''|}}. Denne [[Metrikk (matematikk)|metrikken]] kan benyttes til å ordne tallene langs linjen. Man sier derfor for eksempel at tallet 4 er nærmere 8 enn tallet 31 er.

For [[tallmengde]]n '''Q'''<sub>''p''</sub> er en tilsvarende beskrivelse ikke så enkel. Avstanden mellom to tall i denne mengden må da defineres ved bruk av den ''p''-adiske absoluttverdien slik at 

: <math> d_p(x,y) = |x - y|_p </math>

Det betyr at avstanden mellom  4 og 8 er 1 i '''Q'''<sub>3</sub>, mens den er 1/27 mellom 4 og 31. Derfor er 31 «nærmere» 4 enn 8 for ''p'' = 3, mens for ''p'' = 5 ville 8 og 31 være i samme avstand fra dette tallet.

En ''ball'' eller [[kule (geometri)|kule]] består av alle punkter som har samme avstand ''r'' fra et bestemt punkt ''c'' som er kulens sentrum. Den består derfor av alle punkt ''x'' som oppfyller 

: <math> |x - c|_p = r </math>
 
Hvis ''r'' = 1/''p''<sup>''n''</sup>, vil kulen derfor bestå av alle tall som har de ''n'' første siffer lik med de i representasjonen av ''c''. Men dette betyr igjen at hvert punkt i kulen kan være dens sentrum. Hvis to slike kuler overlapper, vil den ene være inneholdt i den andre. Tallmengden '''Z'''<sub>''p''</sub> får dermed en struktur som har noen likhetspunkter med en [[fraktal]].<ref name = Gouvea/>