Redigerer Magnetostatikk (avsnitt)

===Skalarpotensial===

Med kjennskap til både '''M''' og '''B''', kan  det magnetiske '''H'''-feltet beregnes fra deres differens. Alternativt kan det også finnes fra fiktive, magnetiske ladninger ved metoder som er kjent fra [[elektrostatikk]]en. Man tar da utgangspunkt i uttrykket

: <math> \mathbf B(\mathbf{r}) = {\mu_0\over 4\pi}\boldsymbol{\nabla}\times\int\!\!dV'\,{\mathbf{M}(\mathbf{r'})\times (\mathbf{r} - \mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

På samme måte som for magnetfeltet fra en enkeldipol, kan dette dermed omformes til

: <math> \mathbf B(\mathbf{r}) = \mu_0\mathbf M(\mathbf{r}) -  {\mu_0\over 4\pi}\boldsymbol{\nabla}\int\!\!dV'\,\mathbf{M}(\mathbf{r'})\cdot {(\mathbf{r} - \mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|^3} </math>

når man inkluderer bidraget fra ''&delta;''-funksjonen i det første leddet. Den siste termen er [[gradient]]en av det skalære potensialet som her tar formen<ref name="Zangwill">A. Zangwill, ''Modern Electrodynamics'', Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.</ref>

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = {1\over 4\pi}\int\!\!dV'\,\mathbf{M}(\mathbf{r'})\cdot\boldsymbol{\nabla'}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

På denne måten er man igjen kommet frem til at det totale magnetfeltet i det magnetiske materialet kan skrives som  {{nowrap|'''B''' {{=}} ''&mu;''<sub>0</sub>('''H''' + '''M''')}}  hvor man nå kan skrive at {{nowrap|'''H''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&Psi;}}.
Bruken av skalarpotensialet forutsetter at det ikke finnes noen frie, elektriske strømmer '''J''' i det området hvor den blir brukt. Det følger fra gradienten som medfører at {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' {{=}} 0}}. Da Maxwells ligning {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''B''' {{=}} 0}} alltid må være oppfylt, vil {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''H''' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''M'''.}}  Ved å definere {{nowrap|''&rho;<sub>m</sub>'' {{=}} - '''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''M'''}}, kan det magnetiske potensialet  i dette tilfellet finnes fra den skalære [[Poissons ligning|Poisson-ligningen]]

: <math> \nabla^2\Psi(\mathbf{r}) = - \rho_m(\mathbf{r}) </math>

Ved å sammenligne med den samme ligningen for det [[elektrisk potensial|elektriske skalarpotensialet]], ser man at størrelsen ''&rho;<sub>m</sub>&thinsp;'' kan betraktes som en tetthet av magnetisk ladning som utgjør en kilde for dette '''H'''-feltet. Det betyr at dets [[feltlinje]]r begynner og ender opp på disse ladningene. Men de er '''fiktive ladninger''' som gjenspeiler matematiske egenskaper ved magnetiseringen. Frie, magnetiske ladninger som omtales som [[magnetisk monopol|magnetiske monopoler]], finnes ikke i vanlig, [[elektromagnetisme|elektromagnetisk teori]].

[[Fil:VFPt magnets BHM.svg|thumb|240px| Mens '''B'''-feltet inni en stavmagnet kan beregnes fra bundne [[magnetisering|magnetiserings-strømmer]] på sideflatene, kan '''H'''-feltet forklares ved fiktive, magnetiske ladninger på endeflatene. Inni magneten har derfor '''B'''- og '''H'''-feltene motsatt retning.]]
Uttykket for det magnetiske skalarpotensialt kan omskrives til

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = {1\over 4\pi}\int\!\!dV'\,\mathbf{M}(\mathbf{r'})\cdot\boldsymbol{\nabla'}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

ved å bruke identiteten

: <math>   \mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla}\phi = \boldsymbol{\nabla}\cdot (\phi\mathbf{v}) - \phi\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v}  </math>

fra [[vektoranalyse]]n for et [[vektorfelt]] <math>\mathbf{v}</math> og en skalær funksjon som her kan tas å være <math>\phi = 1/|\mathbf{r} - \mathbf{r'}| </math>. Det gir

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = {1\over 4\pi}\int\!\!dV'\, \left[\boldsymbol{\nabla'}\cdot {\mathbf{M}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} - {\boldsymbol{\nabla'}\cdot \mathbf{M}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}\right] </math>

Ved bruk [[divergensteoremet]] i det første integralet slik at edt kan skrives som et integral over overflaten ''S'&thinsp;'' til materialet med flatenormal '''n''', tar skalarpotensialet den endelige formen

: <math> \Psi(\mathbf{r}) = {1\over 4\pi}\int\!\!dV'\, {\rho_m(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} + {1\over 4\pi}\int\!\!dS'\, {\sigma_m(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

etter å ha der innført en flatetetthet ''&sigma;<sub>m</sub>&thinsp;'' = '''M'''&sdot;'''n''' av fiktive, magnetiske ladninger i tillegg til den romlige tettheten {{nowrap|''&rho;<sub>m</sub>&thinsp;''}}. Dette potensialet har derfor akkurat samme, matematiske form som det [[elektrisk felt#Elekerisk potensial|elektriske potensialet]] skapt av elektriske ladninger kontinuerlig fordelt i rommet og på flater. Det kan derfor også beregnes med bruk av de samme metodene.<ref name="Zangwill"/>

Hvis man igjen betrakter eksemplet med en sylinderformet stavmagnet med konstant magnetisering '''M''', vil den romlige tettheten av magnetiske ladninger {{nowrap|''&rho;<sub>m</sub>&thinsp;'' {{=}} 0}}. Men på de to endeflatene vil flatetettheten ''&sigma;<sub>m</sub>&thinsp;'' være forskjellig fra null. Mens den er positiv på den ene enden som tilsvarer en magnetisk N-pol, vil den andre være en S-pol med negativ ladning. Dette tilsvarer forklaring av magnetisme i den antikverte [[magnet|Gilbert-modellen]] som man her ser likevel har en beregningsverdig relevans. '''H'''-feltet i og omnkring stavmagneten har derfor samme form som for to parallelle plater med like store ladninger med motsatte fortegn. Inni denne magneten har derfor '''B'''- og '''H'''-feltene motsatt retning. Det er typisk for permanente magneter.<ref name = RM/>