Redigerer Magnetisk dipol (avsnitt)

==Magnetisk dipolstråling==

Når det magnetiske momentet varierer med tiden, kan det gi opphav til [[elektromagnetisk stråling]] på samme måte som at en elektrisk [[dipol]] kan gi opphav til [[Dipol#Elektrisk dipolstråling|elektrisk dipolstråling]]. I begge tilfeller kan den beregnes fra [[Magnetisk felt#Vektorpotensialet|vektorpotensialet]] som for store avstander ''r'' = |'''r'''|&thinsp; fra dipolen er gitt ved integralet

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {\mu_0\over 4\pi r}\int d^3x' \mathbf{J}(\mathbf{r'},  t')  </math>

hvor og '''J'''('''r''',''t''&thinsp;) er strømtettheten i dipolen og ''t'&thinsp;'' = ''t'' - |'''r''' - '''r'&thinsp;'''|/''c&thinsp;'' er den retarderte tiden. Det er den tiden da et signal ble sent ut  med [[lyshastigheten|lysets hastiget]]  fra et kildepunkt '''r'''' i dipolen slik at det når frem til feltpunktet '''r''' ved tiden ''t''.<ref name = RM/>

Ved beregning av dette integralet i laveste orden ser man bort fra avhengigheten av '''r'''' i den retarderte tiden. Det gir et bidrag til vektorpotensialet som skyldes strømfordelingens [[dipol|elektriske dipolmoment]]. Det magnetiske bidraget kommer fra neste orden der man gjør den nøyaktigere tilnærmelsen

: <math> |\mathbf{r} - \mathbf{r'}| = r - \mathbf{n}\cdot\mathbf{r'} </math>

hvor enhetsvektoren '''n''' = '''r'''&thinsp;/''r''&thinsp; har samme retning som '''r'''.  Se man bort fra bidraget fra det elektriske dipolmomentet, har man da til denne orden

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = {\mu_0\over 4\pi r}\int\! d^3x' \mathbf J (\mathbf{r'},  t - r/c) + {\mu_0\over 4\pi c r^2}\int\! d^3x'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}) \dot\mathbf{J} (\mathbf{r'},  t - r/c)  </math>

der prikken over strømtettheten indikerer en [[derivasjon]] med hensyn på tiden. Her representerer den første termen bidraget fra den elektriske dipolen som man her kan se bort fra. Kildens magnetiske moment ligger i den siste termen.<ref name = Zangwill/>

For å kunne isolere den, er det enklest å tenke seg at den elektriske strømmen i kilden skyldes [[Kontinuitetsligning#Punktpartikler|punktladninger]] ''q<sub>a</sub>'', hver med hastighet '''v'''<sub>''a''</sub> = ''d''&thinsp;'''r'''<sub>''a''</sub>&thinsp;/''dt''. Da tar strømtettheten formen

: <math> \mathbf{J}(\mathbf{r},t)  = \sum_a q_a \mathbf{v}_a(t) \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}_a(t)) </math>

slik at det gjenværende integralet kan skrives som

: <math>\begin{align} & \int\! d^3x'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r'}) \mathbf{J} = \sum_a q_a (\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}_a) \mathbf{v}_a \\ &= {1\over 2} \sum_a q_a \Big[(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}_a) \mathbf{v}_a + (\mathbf{r}\cdot\mathbf{v}_a) \mathbf{r}_a + (\mathbf{r}_a\times\mathbf{v}_a) \times\mathbf{r}\Big]\end{align} </math>

På høyre side er de to første leddene symmetriske i '''r'''<sub>''a''</sub> og '''v'''<sub>''a''</sub>. De gir et bidrag som er gitt det tidsderiverte  [[multipolutvikling|kvadrupolmomentet]] til ladningene. I det siste  leddet opptrer det [[magnetisk moment|magnetiske momentet]]

: <math> \mathbf{m}(t) = {1\over 2} \sum_a q_a (\mathbf{r}_a\times\mathbf{v}_a) = {1\over 2}\int d^3x\, \mathbf{r}\times \mathbf{J}(\mathbf{r}, t) </math>

Det gir resultatet

: <math> \mathbf{A} (\mathbf{r}, t) = - {\mu_0\over 4\pi c r}\mathbf{n}\times \dot\mathbf{m}(t - r/c) </math>

for vektorpotensialet når man ser bort fra bidraget fra kvadrupolmomentet.  Da det avtar med avstanden som 1/''r'', gir det opphav til [[elektromagnetisk stråling]] i form av en [[bølge]] som har en form som er gitt ved den tidsderiverte av det magnetiske momentet. Den vil vanligvis inneholde alle mulige [[frekvens]]er som er bestemt av funksjonen som beskriver hvordan momentet varierer med tiden og kan finnes ved en [[Fourier-transformasjon]] av denne funksjonen.<ref name = RM/>

===Strålingsfelt===
[[Fil:Dipole xmting antenna animation 4 408x318x150ms.gif|thumb|280px|Magnetiske [[feltlinje]]r i strålingssonen  utenfor en oscillerende, magnetisk dipol.]]

Ut fra formen for vektorpotensialet kan de elektromagnetiske feltene '''E'''('''r''',''t'')  og {{nowrap|'''B'''('''r''',''t'') {{=}} '''&nabla;'''&thinsp;&times;&thinsp;'''A'''('''r''',''t'')}}  i strålingssonen nå beregnes på samme måte som for en ladet partikkel i [[Elektromagnetisk felt#Stråling fra punktpartikkel|akselerert bevegelse]]. Mens det elektriske strålingsfeltet da blir

: <math> \mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = {q\mu_0\over 4\pi c r} \mathbf{n}\times\ddot\mathbf{m}(t - r/c) </math>,

kan det magnetiske feltet skrives som '''B''' = '''n'''&thinsp;&times;&thinsp;'''E'''/''c''. Det viser at det som forventet står [[vinkelrett]] på utbredelsesretning '''n''' og det elektriske feltet.  Sammenligner man dette med strålingsfeltene fra en [[Dipol#Elektrisk dipolstråling|elektrisk dipol]], ser man at fordelingen av strålingsfeltene '''E''' og '''B''' er byttet om.<ref name = Zangwill/>

Intensiteten av den utstrålte energien kan beregenes fra [[Poyntings vektor]] '''S''' = '''E'''&thinsp;&times;&thinsp;'''H''' hvor magnetfeltet '''H''' = '''B'''/''&mu;''<sub>0</sub>.
Gjennom en liten [[romvinkel]] ''d&Omega;'' i retning '''n''' blir den

: <math> {dP\over d\Omega}  =  {\mu_0\over 16\pi^2 c^3}(\mathbf{n}\times\ddot\mathbf{m})^2 = {\ddot{m}^2\over 16\pi^2\varepsilon_0 c^5}\sin^2\theta </math>

hvor ''&theta;'' er vinkelen som '''n''' danner med <math>\ddot{\mathbf{p}}</math>. Dette er samme «dipolfordeling» av utstrålt energi som for den elektriske dipolen og konsentrert vinkelrett til vektoren <math>\ddot\mathbf{m}</math>.

Utfra definisjonene har det magnetiske dipolmomentet en størrelsesorden som er en faktor ''v'' i forhold til det elektriske. Den gir derfor en utstrålt energi som er omtrent en faktor {{nowrap|''v''<sup>&thinsp;2</sup>/''v''<sup>&thinsp;2</sup>}} av  den [[Dipol#Elektrisk dipolstråling|elektriske energien]]. Da man allerede har antatt at {{nowrap|''v'' << ''c'',}} vil energien fra en magnetisk dipol være mye mindre en fra det tilsvarende, elektriske dipolmomentet til samme strømfordelingen. Det samme gjelder for den utstrålte energien som skyldes kvadrupolmomentet.<ref name = Zangwill/>