Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

==Spinn-1/2==

Når den kvantiserte dreieimpulsen har et halvtallig kvantetall ''j'', kan den ikke skyldes noen vanlig rotasjon i vårt tredimensjonale rom. Den blir da vanligvis omtalt som [[spinn]] og er en egenskap ved [[elementærpartikkel|elementærpartikler]]. De sies å være «punktpartikler» fordi alle observasjoner viser at de ikke har noen utstrekning. Av den grunn kan de heller ikke ha noen indre rotasjon og derfor en orbital dreieimpuls. Spinn til en partikkel kan føres tilbake til [[Einstein]]s [[spesielle relativitetsteori]]. For å skille det fra orbital dreieimpuls '''L''', betegnes det vanligvis med symbolet '''S''' med et tilsvarende kvantetall ''s''. Det enkleste eksempel er elektronet som har ''s'' = 1/2 og er beskrevet ved [[Dirac-ligning]]en.<ref name = BM> J.J. Brehm and W.J. Mullin, ''Introduction to the Structure of Matter'', John Wiley & Sons, New York (1989). ISBN 0-471-61273-1.</ref> 

Kommutatorene for de tilsvarende spinnkomponentene <math> (\hat{S}_x,\hat{S}_y,\hat{S}_z) </math> er de samme som for dreieimpulsen og egentilstandene tilfredsstiller

: <math> \begin{align} \hat{\mathbf{S}}^2 |s, m\rangle &= \hbar^2 s(s +1) |s, m\rangle \\ \hat{S}_z |s,m\rangle &= \hbar m |s, m\rangle  \end{align}</math>

hvor det magnetiske kvantetallet tar (2''s'' + 1) forskjellige verdier mellom +''s'' og -''s''. For en partikkel med ''s'' = 1/2, er det derfor bare to egenvektorer <math> |  {\textstyle\frac 1 2}, m\rangle = |m \rangle </math> med ''m'' = &pm;1/2. De omtales ofte som om at spinnet er oppeller ned langs en tenkt ''z''-akse og betegnes i litteraturen på forskjellig vis, for eksempel

: <math> |{\textstyle\frac 1 2}, + {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |+ {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |+ \rangle = | \uparrow \rangle  </math> 
: <math> |{\textstyle\frac 1 2}, - {\textstyle\frac 1 2} \rangle =  |- {\textstyle\frac 1 2} \rangle = |- \rangle = | \downarrow \rangle </math>

Det finnes ikke noe koordinatrom som nå kan benyttes til å finne tilsvarende egenfunksjoner. Men spinnoperatorene og egentilstandene kan representeres ved 2&thinsp;&times;&thinsp;2 [[matrise]]r.

===Spinorer===

En partikkel med spinn ''s'' = 1/2,  kan være i en vilkårlig spinntilstand 

: <math> |\psi \rangle = \psi_+ |\uparrow \rangle +\, \psi_- |\downarrow \rangle </math>  

som er en [[Schrödinger-ligning#Superposisjon|superposisjon]] av to egentilstander. De to komponentene er gitt ved <math> \psi_m = \langle m| \psi \rangle </math> som i alminnelighet er komplekse tall. Sammen utgjør de en kolonnematrise

: <math> \psi = \begin{pmatrix} \psi_+ \\ \psi_- \end{pmatrix} </math>

som kalles en '''spinor'''. Det er i motsetning til en [[vektor (matematikk)|vektor]] som har tre komponenter i det tredimensjonale rommet. Egenvektorene kan nå representeres ved basisspinorene

: <math>  \uparrow \; = \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}, \quad  \downarrow \; = \begin{pmatrix} 0 \\ 1  \end{pmatrix} </math>

slik at en generell spinntilstand kan skrives som <math>  \psi = \psi_+\! \uparrow + \; \psi_- \!\downarrow. </math> Dette er en slags diskret [[bølgefunksjon]].

På samme måte kan operatorene representeres ved  2&thinsp;&times;&thinsp;2 matriser med komponenter

:  <math> (S_a)_{mm'} = \langle m |\hat{S}_a | m' \rangle </math>

En direkte utregning gir da at

: <math> \mathbf{S} = {\hbar\over 2}\boldsymbol{\sigma} </math>

hvor '''&sigma;''' utgjør de tre [[Pauli-matrise]]ne

: <math>  \sigma_x =  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_y  = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \; \sigma_z =  \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} .</math>

Når partikkelen beveger seg og har en posisjon '''r''' som eventuelt kan variere med tiden, må man benytte basisvektorene <math> |\mathbf{r},m \rangle </math> i Hilbert-rommet. Dens komponenter er da <math> \psi_m(\mathbf{r}) = \langle m,\mathbf{r} | \psi \rangle </math> slik at den kan den kan fremstilles som

: <math> \psi (\mathbf{r}) = \begin{pmatrix} \psi_+ (\mathbf{r}) \\ \psi_- (\mathbf{r}) \end{pmatrix} = \psi_+(\mathbf{r}) \! \uparrow + \; \psi_- (\mathbf{r}) \!\downarrow </math>

Spinoren har en tidsutvikling som er beskrevet av [[Pauli-ligning]]en. Den er en utvidelse av [[Schrödinger-ligning]]en for partikler med spinn ''s'' = 1/2, men gjelder bare når bevegelsen er ikke-relativistisk. Når det ikke er tilfelle, må man i stedet benytte [[Dirac-ligning]]en hvor den tilsvarende Dirac-spinoren inngår og har fire komponenter.<ref name = Abers/>

===Rotasjon av spinorer===

Den mest karakteristiske egenskap ved spinorer er at de forandrer fortegn under en rotasjon med 360&deg;. Dette er i motsetning til vanlige vektorer som alltid kommer tilbake til seg selv etter en slik rotasjon.

Størrelsen av en rotasjon kan beskrives ved en enhetsvektor '''n''' som angir retningen til rotasjonsaksen samt selve rotasjonsvinkelen ''&phi;&thinsp;'' om denne aksen. En kvantemekanisk tilstand <math> |\psi\rangle </math> vil da forandres som

: <math>   |\psi\rangle \rightarrow |\psi\rangle' = \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) |\psi\rangle </math>

hvor <math> \boldsymbol{\phi} = \mathbf{n}\,\phi </math> og

: <math> \hat{R}(\boldsymbol{\phi}) = e^{-i\hat{\mathbf{J}}\cdot \boldsymbol{\phi}/\hbar} </math>

er [[Kvantemekanikk#Rotasjoner og dreieimpuls|rotasjonsoperatoren]] uttrykt ved dreieimpulsoperatoren for tilstanden som roteres. For en spinor med spinn ''s'' = 1/2 vil denne operatoren da bli

: <math> R(\boldsymbol{\phi}) = e^{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{\phi}/2} </math>

når den skrives i matriserepresentasjonen.<ref name = Sakurai/>

Effekten av denne operatoren kan tydeliggjøres ved å betrakte en rotasjon om ''z''-aksen. Da tar den formen

: <math> \begin{align} R(\phi) &= e^{-i\sigma_z\phi/2} \\ &= 1 - i{\phi\over 2}\sigma_z + {1\over 2!} \left(-i{\phi\over 2}\sigma_z\right)^2 + {1\over 3!} \left(-i{\phi\over 2}\sigma_z\right)^3 + \cdots \end{align} </math>

Ved nå å benytte at <math> \sigma_z^2 = 1, </math> forenkles dette til

: <math> \begin{align} e^{-i\sigma_z\phi/2} &= \Big(1 -  {1\over 2!} \left({\phi\over 2}\right)^2 + \cdots \Big) - i\sigma_z\Big({\phi\over 2} -  {1\over 3!}\left({\phi\over 2}\right)^3 + \cdots \Big) \\ &=  \cos{\phi\over 2} -  i\sigma_z\sin{\phi\over 2} \end{align} </math>

Mer generelt vil en rotasjon ''&phi;&thinsp;'' om en vilkårlig akse gitt ved enhetsvektoren '''n''' resultere fra transformasjonen

: <math>  R_\mathbf{n} (\phi) = e^{-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\,\phi/2} = \cos{\phi\over 2} - i \boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}\sin{\phi\over 2} </math>

når man gjør bruk av at <math>  (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n})^2 = 1. </math> En full rotasjon på 360&deg; som tilsvarer ''&phi;'' = 2''&pi;&thinsp;'' radianer, gir da en rotasjonsmatrise som ganske enkelt er {{nowrap|''R''&thinsp;(2''&pi;''&thinsp;) {{=}} -1}}. Først etter to fulle omdreininger med ''&phi;'' = 4''&pi;&thinsp;'' vil spinoren komme tilbake til seg selv. Dette resultatet er uavhengig av hvilken akse som rotasjonen foretas rundt.<ref name = Griffiths/>