Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Hydrogenatomet===
Den nye kvantemekanikken ville ikke ble akseptert før den kunne forklare [[linjespektrum|linjespektret]] til [[hydrogen]] minst like godt som i [[Bohrs atommodell]]. Allerede høsten 1925 lyktes [[Wolfgang Pauli]] med det ved å gjøre bruk av den spesielle [[Runge-Lenz-vektor]]en. Den opptrer i [[tolegemeproblem|topartikkelsystem]] som blir holdt sammen av et [[Coulombs lov#Coulomb-potensialet|Coulomb-potensial]] på formen {{nowrap|''V''(''r''&thinsp;) {{=}} -''k''/''r&thinsp;''}} hvor ''k'' er en konstant avhengig av de elektriske ladningene til partiklene. Hamilton-operatoren for [[Hydrogenatom#Kvantemekanisk løsning|hydrogenatomet]] er derfor

: <math> \hat{H} = {\hat\mathbf{p}^2\over 2m} - {k\over\hat{r}} </math>

På samme måte som den bevarte dreieimpulsen <math>\mathbf{L} </math> blir en vektoroperator <math>  \,\hat\mathbf{L} , </math> blir Runge-Lenz-vektoren <math>\mathbf{A} </math> en tilsvarende vektoroperator <math>\hat\mathbf{A}. </math> 
Den kan kvantiseres på lignende måte som dreieimpulsen ved å gjøre bruk av de nye kommutatorene <math>  [\hat{L}_a, \hat{A}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{A}_c </math> og <math> [\hat{A}_a, \hat{A}_b]  = - 2m\hat{H} i\hbar\,\varepsilon_{abc} \hat{L}_c .</math>
Energien til atomet kan  dermed finnes fra sammenhengen

: <math>  \hat\mathbf{A}^2 = m^2k^2 + 2m\hat{H}( \hat\mathbf{L}^2 + \hbar^2 ) </math>

som er den samme som i klassisk mekanikk når man ser bort fra det siste leddet med Plancks konstant. Dette gir de kvantiserte energinivåene

: <math> E = - {m\over 2\hbar^2} {k^2 \over (2j +1)^2} </math>

hvor spinnkvantetallet  ''j'' = 0, 1/2, 1, 3/2 og så videre. Med {{nowrap|''k'' {{=}} ''e''<sup>&thinsp;2</sup>/4''&pi;&thinsp;&epsilon;''<sub>0</sub>}} er dette i full overensstemmelse med [[Bohrs atommodell#Diskrete energinivå|Bohrs resultat]] der hovedkvantetallet ''n'' = 2''j'' + 1 = 1, 2, 3 og så videre.<ref name = Pauli>W. Pauli, ''Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik'',  Zeitschrift für Physik '''36''' (5), 336–363 (1926). [http://sphics.com/tc/201801-SIU-P530A/files/Pauli-1926-On-the-spectrum-of-hydrogen-atom--English-translation.pdf PDF]</ref>

Omtrent samtidig med at Pauli gjennomførte denne beregningen, klarte også [[Dirac]] å utlede samme resultat for hydrogenatomet ved bruk av sin operatorformulering. Han gjorde ingen eksplisitt bruk av Runge-Lenz-vektoren, men forenklet i stedet problemet ved å beskrive den klassiske bevegelsen til elektronet i et plan. Kvantiseringen involverer dermed færre operatorer og kan igjen gjøres rent algebraisk.<ref>P.A.M. Dirac, [https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspa.1926.0034 ''Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom''], Proc. Roy. Soc. '''A110''', 561-579 (1926).</ref>