Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Kanoniske transformasjoner==

I Lagrange-funksjonen er ikke valget av den ''N'' generaliserte koordinater ''q'' = ''(q<sub>1</sub>, q<sub>2</sub>, ... , q<sub>N</sub>)'' entydig. Et annet valg ''Q = Q(q,t)'' vil gi de samme Euler-Lagrange-ligningene. En slik forandring av koordinatene, kalles en ''punkttransformasjon''. Hva man velger å bruke i praksis, bestemmes vanligvis av den matematiske forenkling i løsningen man kan oppnå i noen tilfeller.

Punkttransformasjonen ''Q = Q(q,t)'' lar også de resulterende Hamiltonske ligninger forbli uforandret. Men i denne formuleringen av mekanikken har man nå ''2N'' uavhengige variable ''q'' og ''p''. Man kan nå tenke seg mer generelle transformasjoner ''q &rarr; Q(q,p,t)'' og ''p &rarr; P(q,p,t)'' hvorved Hamilton-funksjonen forandres til ''H(q,p,t) &rarr; H'(Q,P,t)''. Disse kalles for ''kanoniske transformasjoner'' hvis de bevarer formen på Hamiltons ligninger, det vil si at de gir som resultat

: <math>  \dot{Q}_n = {\partial H'\over\partial P_n} ,  \;\;\;\;\;\;   \dot{P}_n = - {\partial H'\over\partial Q_n}  </math>

De nødvendige egenskapene de må ha, følger fra den tidligere utledningen av ligningene fra virkningsprinsippet i faserommet. Det betyr at de må resultere fra en ekstremalisering av virkningen

: <math> S' =  \delta\int_0^t\! \big(P\cdot dQ - H' dt\big) </math>

For at dette skal være i overensstemmelse med den tidligere virkningen ''S'' uttrykt ved de variable ''q'' og ''p'', må de to integrandene være identiske eller mer generelt adskille seg fra hverandre med et totalt differensial ''dF''. Dette vil nemlig i [[variasjonsregning]]en gi opp til et randledd som er lik null i beregningen. Man må derfor ha at

: <math> dF =  p\cdot dq - P\cdot dQ +  (H' - H) dt </math>

Hvis man nå betrakter funksjonen ''F = F(q,Q,t)'', så vil man derfor måtte ha

: <math> p_n = {\partial F\over\partial q_n}, \;\;\; \;\;P_n = - {\partial F\over\partial Q_n} </math>

sammen med ''H' = H + &part;&thinsp;F/&part;&thinsp;t&thinsp;.'' Så hvis funksjonen ''F'' er kjent, har man dermed sammenhengen mellom de nye og de gamle koordinatene. Denne kanoniske transformasjonen oppstår fra funksjonen ''F = F(q,Q,t)'' som derfor vanligvis kalles for ''den genererende funksjon''.

På samme måte kan man bruke genererende funksjoner gitt ved andre par av variable. For eksempel, vil man benytte ''q'' og ''P'' i stedet, kan man skrive om den ovenforstående betingelsen  til formen

: <math> d(F + P\cdot Q) =  p\cdot dq + Q\cdot dP +  (H' - H) dt </math>

Venstre side må nå være differensialet av en funksjon ''G =G(q,P,t)''. Dette følger utfra hva som opptrer på høyre side av differensialer. Igjen er dette et eksempel på en [[Legendre-transformasjon]] hvor man bytter ut den variable ''Q'' med ''P''. Resultatet av denne kanoniske transformasjonen er nå

: <math> p_n = {\partial G\over\partial q_n}, \;\;\; \;\;Q_n = {\partial G\over\partial P_n} </math>

hvor den nye Hamilton-funksjonen fremdeles er gitt som ''H' = H + &part;&thinsp;G/&part;&thinsp;t&thinsp;.''