Redigerer Eulers tall (avsnitt)

==Kompleks eksponentialfunksjon==
[[Fil:Euler's formula.svg|thumb|Illustrasjon av Eulers formel i det [[komplekst tall|komplekse planet]].]]

Da den uendelige rekken for ''e<sup>x</sup>&thinsp;'' er absolutt konvergent, kan funksjonen derfor utvides til å gjelde også for [[komplekst tall|komplekse]] argument {{nowrap|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''&thinsp;}} der ''i'' er den [[imaginær enhet|imaginære enheten]] definert som [[kvadratrot]]en av -1. Generelt har man derfor

: <math> e^z = 1 + {z\over 1!} + {z^2 \over 2!} + {z^3 \over 3!} + {z^4 \over 4!} +  \cdots </math>

I det spesielle tilfellet at ''z'' er rent imaginær, det vil si ''z'' = ''i&phi;'', splittes rekken i en reell og en imaginær del som begge kan uttrykkes ved [[trigonometrisk funksjon|trigonometriske funksjoner]] ved identiteten

: <math> e^{i\phi}  = \cos\phi + i\sin\phi </math>

Den kalles [[Eulers formel]] og ble også presentert av han i 1748. I dag anvendes den i mange forskjellige sammenhenger. For eksempel benyttes den til å fremstille periodiske [[svingning]]er og [[bølge]]r som komplekse [[fasevektor]]er.

Det ekvivalente uttrykket

: <math> i\phi = \ln( \cos\phi + i\sin\phi) </math>

var blitt utledet av [[Roger Cotes]] allerede i 1714 fra en beregning av overflaten til en [[ellipsoide]] som han kunne gjøre på to forskjellige måter.<ref name = Cotes/> Men på den tiden var ikke sammenhengen mellom hyperbolske logaritmer og Eulers tall tilstrekkelig klarlagt for å skrive den på den mer kompakte formen som Euler fant senere.<ref name = Sandifer/> 

Når ''&phi;'' = ''&pi;''&thinsp;, gir formelen at

: <math> e^{i\pi} + 1 = 0 </math>

da cos''&pi;'' = -1 og sin''&pi;'' = 0. Dette magiske resultatet omtales vanligvis som [[Eulers likhet]] og er ekvivalent med ln(-1) = ''i&pi;&thinsp;''.