Redigerer Entropi (avsnitt)

===Maxwell-Boltzmann-statistikk===

For en gass tenkte Boltzmann seg at partiklene  til hvert tidspunkt kan befinne seg i et stort antall tilstander som i prinsippet kan angis ved deres posisjoner og hastigheter ved det tidspunktet. Ved å oppgi  nøyaktig hvilken tilstand hver partikkel befinner seg i, sier man at systemet er i en bestemt ''mikrotilstand''. Men de makroskopiske egenskapene til systemet er uavhengig av hvilke partikler som er i hver av disse tilstandene, kun hvor mange. Med totalt ''N'' partikler i systemet, kan det være ''N<sub>1</sub>'' partikler i tilstand 1, ''N<sub>2</sub>'' i tilstand 2 og så videre,  Disse tallene kalles ofte for ''besetningstall'' eller «okkupasjonstall» og karakteriserer en bestemt ''makrotilstand''. Antall måter å plassere alle partiklene i disse tilstandene på, er nå

: <math> W = {N!\over \prod_i N_i!} </math>

Dette er antall mikrotilstander som tilsvarer makrotilstanden gitt ved besetningstallene  ''N<sub>1</sub>'', ''N<sub>2</sub>'', ....''N<sub>i</sub>'' .... for hver mikrotilstand ''i''. Desto større ''W'' er, desto større er sannsynligheten for akkurat denne makrotilstanden. Hvis partiklene starter med en fordeling hvor ''W'' er liten, vil de med tiden bevege seg inn i fordelinger med økende ''W''. Dette tilsvarer at entropien øker. Til slutt har de kommet inn i en fordeling hvor ''W'' har en maksimal verdi og kan ikke gjøres større. Da er systemet i termisk likevekt og entropien forandres ikke mer. Prinsipielt har systemet da muligheten for å gå over i en mindre sannsynlig fordeling, men det vil fort komme tilbake til den med maksimal sannsynlighet. Dette kalles en ''statistisk fluktuasjon'' og vil være neglisjerbar hvis systemet er stort nok.

Hvis en partikkel i tilstand ''i'' har energi ''&epsilon;<sub>i</sub>''&thinsp;, vil den mest sannsynlige makrotilstand ved temperatur ''T''  inneholde

: <math> N_i = {N\over Z} e^{-\varepsilon_i/k_B T} </math>

partikler i denne tilstand. Her er

: <math> Z=  \sum_i e^{-\varepsilon_i/k_B T} </math>

og kalles partisjonsfunksjonen for en partikkel og betegnes med bokstaven ''Z&thinsp;'' for det tyske ordet ''Zustandssumme''. Den kommer fra kravet at {{nowrap|&sum;<sub>''i''</sub>&thinsp;''N<sub>i</sub>'' {{=}} ''N''.}}  Denne [[Boltzmann-fordeling]]en av partikler spiller en fundamental rolle i [[statistisk fysikk]]. Den kan også benyttes i [[kvantemekanikk]]en. Hva som Boltzmann i [[klassisk fysikk]] omtaler som en [[mikrotilstand]], vil i kvantemekanikken tilsvare en [[kvantetilstand]].  Det er først på dette viset at entropi kan beregnes fullstendig.<ref name = Sears/>

Entropiens vekst i isolerte system blir ofte beskrevet som en utvikling mot stadig mer uorden. Dette kommer fra den statistiske begrunnelsen for begrepet gitt av Boltzmann. Men begrepet "uorden" er ikke alltid synonymt med en fordeling med maksimal sannsynlighet. For eksempel, når is smelter i et vannglass, er det kanskje naturlig å si at da er slutt-tilstanden mer ordnet enn begynnelsestilstanden.  I denne siste er alle vannmolekylene jevnt fordelt over hele glasset og tilstanden ser "ordnet" ut. Mens begynnelsestilstanden har vann og isbiter om hverandre og ser mer "uordnet" ut. Men her er antall mikrotilstander og dermed ''W'' mindre enn i slutt-tilstanden fordi noen av vannmolekylene er bundet fast i isen og kan ikke bevege seg fritt over hele glasset som alle vannmolekylene kan i slutt-tilstanden.