Redigerer Eksponentiell vekst (avsnitt)

===Logistisk vekst===
[[Fil:Logistic-curve.svg|thumb|320px|right|Grafisk fremstilling av ''N''/''P'' for logistisk vekst med tidskonstant ''k'' =1. Tiden angis fra det tidspunktet der veksthastigheten er størst, det vil si der ''N''/''P'' = 1/2.]]

I virkeligheten kan ikke eksponentiell vekst fortsette i det uendelige. Blir det for mange mennesker i et land, kan det etter hvert bli for lite mat eller de blir boende så tett og usunt at stadig flere dør av sykdom. Dette betyr at vekstraten blir mindre ved et økende antall i populasjonen. Hvis denne reduksjonen er lineær, må man erstatte ''r'' med {{nowrap|''r''&thinsp;(1 - ''N''/''P''&thinsp;)}} hvor ''P'' er en ny konstant som er lik med den maksimale verdi ''N'' kan ta. Vekstligningen tar dermed formen

: <math> {dN\over dt} = kN\Big(1 - {N\over P}\Big) </math>

Dette er '''logistiske vekstligningen''' og har som viktigste egenskap at den eksponentielle veksten vil avta etter en stund og til slutt stoppe helt opp med en sluttverdi {{nowrap|''N {{=}} P''}}. Da ''dN''/''dt'' angir hastigheten av veksten, er høyresiden i ligningen et uttrykk for hvor stor den er for hver verdi av ''N''.<ref name = Kreyszig/> Det gir at veksten øker raskest når ''N'' har nådd  halvparten av maksimalverdien ''P'' og deretter vil avta mot null. Som funksjon av tiden vil derfor hastigheten starte ut fra null, nå et maksimum med ''N'' = ''P''/2 og så avta mot null igjen.

Differensialligningen kan løses eksakt med resultatet ved å skrive den på formen

: <math> {P dN\over N (P - N} = dN\Big({1\over N} + {1\over P - N}\Big) = k dt </math> 

Her kan vært ledd på venstresiden integreres ved hjelp av den naturlige logaritmefunksjonen. På den måten finner man løsningen

: <math> N(t) = {N_0 P e^{kt}\over P + N_0(e^{kt} - 1)} </math> 

der ''N''<sub>0</sub> igjen er antallet ved tidspunktet ''t'' = 0. Den beskriver en eksponentiell vekst ved tidlige tidspunkt. Senere flater den etterhvert ut og nærmer seg ''P'' når ''t'' er blitt mye større enn den karakteristiske tiden {{nowrap|1/''k''}} som bestemmer hastigheten til veksten.<ref name = W> E.W. Weisstein,  [https://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html ''Logistic Equation''],  Wolfram MathWorld</ref>

Denne logistiske tidsutvikling er viktig i [[populasjonsdynamikk]] og er et speilbilde av Fermi-Dirac-fordelingen i [[statistisk fysikk]].