Redigerer Boltzmann-fordeling (avsnitt)

==Ideell gass==

Hver partikkel i en [[ideell gass]] har energien ''E'' = ''p''<sup>&thinsp;2</sup>/2''m&thinsp;'' når den ikke har andre [[Ekvipartisjonsprinsipp#Kvadratiske frihetsgrader|frihetsgrader]] enn de som skyldes dens egen bevegelse. Da denne er uavhengig av partikkelens posisjon i volumet ''V'',  blir dens tilstandstetthet 

: <math> g(E)dE = {V\over h^3} d^3 p =  {V\over h^3} \, 4\pi p^2 dp </math>

Sannsynlighetsfordelingen for impulsene i denne gassen er dermed

: <math> n(E) dE = {N\over Z}{V\over h^3} 4\pi p^2 e^{-p^2/2mk_BT} dp </math>

som tilsvarer [[Maxwell-fordeling|Maxwells hastighetsfordeling]] da ''p'' = ''mv''.<ref name = KK/>

===Indre energi===
De termodynamiske egenskapene er inneholdt i partisjonsfunkjonen

: <math> Z = {V\over h^3} \, 4\pi \!\int_0^\infty \! dp\, p^2 e^{-p^2/2mk_BT} </math>

Integralet kan gjøres på enkelt vis ved å definere <math> a = 1/2mk_BT.</math> Da er

: <math> Z = {V\over h^3} \, 4\pi \left(-{\partial\over\partial a}\right) \!\int_0^\infty \! dp \,e^{-ap^2} </math>

Dette er nå et [[Gauss-integral]] med verdien (1/2)&radic;(''&pi;''&thinsp;/''a''). Ved en enkel derivasjon finner man så resultatet <math>  Z = V/\Lambda^3 </math> hvor

: <math> \Lambda = \sqrt{h^2\over 2\pi m k_BT} </math>

kalles den «termiske bølgelengden» til partikkelen. Middelverdien av dens energi blir 

: <math> \langle E \rangle =  - {\partial\over\partial\beta}\ln Z = {3\over 2} k_BT,  </math>

i overensstemmelse med [[kinetisk teori]]. Har partiklene indre frihetsgrader som når de er sammensatt av flere atom, vil disse også bidra til deres indre energi.<ref name = Sears/>

===Fri energi===
I motsetning til kinetisk teori tillater statistisk mekanikk også en beregning av de termodynamiske egenskapene til systemet. De følger fra partisjonsfunksjonen når den skrives på formen

: <math> Z = e^{-F/k_BT} </math>

hvor funksjonen ''F&thinsp;'' er [[Helmholtz fri energi]] for systemet. Det følger fra den indre energien  

: <math> \langle E \rangle = -  {\partial\over\partial\beta}\ln Z = F - T{\partial F\over\partial T} </math>

hvor  <math> S = -\partial F/\partial T </math> er den termodynamiske [[entropi]]en til partikkelen. Men en eksplisitt utregning viser at den ikke blir [[Intensive og ekstensive egenskaper|ekstensiv]]. Det betyr her at hvis man for eksempel dobler størrelsen både på volumet ''V&thinsp;'' og antall partikler ''N'', så skal også entropien til gassen fordobles. Problemet har sin forklaring i at man ennå ikke har tatt hensyn til at gassen består av like partikler.<ref name = Huang/>

===Ekstensiv entropi===

Partisjonsfunksjonen for hver partikkel i gassen er gitt ved <math> Z </math> slik at den ville vært <math> Z^N </math> hvis de kunne lokaliseres. Men partiklene er like og kan byttes om på <math>N! = N(N -1)(N-2) \cdots 1 </math> forskjellige måter som ikke kan adskilles Gassens partisjonsfunksjon er derfor

: <math> Z_N = {Z^N\over N!}  = e^{- F_N/k_BT} </math> 

hvor nå <math> F_N </math> er den totale, frie energien for alle <math> N </math> partikler. Denne justeringen er den samme som løser [[Entropi#Gibbs paradoks|Gibbs paradoks]] for en blanding av to forskjellige gasser.

Da partikkeltallet <math> N \gg 1, </math>  kan man benytte [[Stirlings formel]] <math> \ln N! = N \ln N - N </math> slik at den fri energien til gassen blir

:  <math>\begin{align} F_N &= - k_BT \ln {Z^N\over N!}  = - Nk_BT \left(\ln{Z\over N} + 1\right) \\ &= N k_BT (\ln \rho\Lambda^3 - 1) \end{align} </math> 

hvor <math> \rho = N/V </math> er tetthet av partikler i gassen. Dette kan skrives som <math> F_N = U_N - TS_N </math> hvor <math> U_N = 3Nk_BT/2 </math> er den totale, indre energien till gassen.  Det betyr at den har entropien 

: <math> S_N = N k_B\left[{5\over 2} - \ln{\rho\Lambda^3} \right] </math>

som nå er proporsjonal med antall partikler den inneholder.<ref name = Lay/>