Redigerer Biot-Savarts lov (avsnitt)

===Ampères sirkulasjonslov===

Hvis man i stedet for divergensen av '''B'''-feltet beregner dets [[curl]], vil den følge fra

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf B(\mathbf{r}) = {\mu_0\over 4\pi} \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\nabla}\times \int\!\!d^3x'\,{\mathbf{J}(\mathbf{r'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} </math>

Dette kan forenkles ved bruk av identiteten

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla}(\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A}) - \boldsymbol{\nabla}^2\mathbf{A} </math>

fra [[vektoranalyse]]n kombinert med den enkle egenskapen

: <math> \boldsymbol{\nabla}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = - \boldsymbol{\nabla'}{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|}.  </math>

Det resulterer i at det ene leddet inneholder faktoren

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2{1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = - 4\pi\delta(\mathbf{r} - \mathbf{r'})   </math>

som følger fra Coulomb-potensialet som en løsning av [[Elektrisk felt#Elektrisk potensial|Poissons ligning]] for en [[Kontinuitetsligning#Punktpartikler|punktladning]]. Mens dette gir et endelig resultat ''&mu;''<sub>0</sub>'''J''' på høyre side av ligningen, inneholder det andre leddet en faktor som kan omskrives ved en partiell integrasjon,

: <math>   \int\!d^3x' \mathbf{J}(\mathbf{x'})\cdot\boldsymbol{\nabla'} {1\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = - \int\!d^3x' {\boldsymbol{\nabla'}\cdot \mathbf{J}(\mathbf{x'})\over |\mathbf{r} - \mathbf{r'}|} = 0 </math>

hvor  overflateleddet er satt lik null samtidig med at {{nowrap|'''&nabla;'''&thinsp;&sdot;&thinsp;'''J''' {{=}} 0}} som følger fra [[kontinuitetsligning]]en for en stasjonær strøm. På den måten står man igjen med det enkle resultatet<ref name = Jackson/>

: <math> \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf B(\mathbf{r}) = \mu_0 \mathbf J(\mathbf{r}) </math>

som er [[Ampères sirkulasjonslov]] på differensiell form. [[Maxwell]] viste at for tidsvarierende felt må denne ligningen utvides med en [[Maxwells forskyvningsstrøm|forskyvningsstrøm]] på høyre side. Det betyr at et elektrisk felt som varierer med tiden, også skaper et magnetisk felt. Dette er den grunnleggende mekanismen bak all [[elektromagnetisk stråling]].