Redigerer Affin geometri (avsnitt)

===Galois-geometrier===

Affine plan kan også konstrueres ved å gå ut fra endelige, [[endelig kropp|Galois-kropper]]. Det enkleste tilfellet får man ved å benytte [[binært tallsystem|binære tall]], 0 eller 1. Denne tallkroppen kalles vanligvis for '''F'''<sub>2</sub>. Et affint plan over denne [[endelig kropp]]en betegnes da med {{nowrap|'''A'''<sup>2</sup>('''F'''<sub>2</sub>)}} og inneholder bare fire punkter. De har affine koordinater (0,0), (0,1), (1,0) og (1,1). Ingen andre punkt kan eksistere i dette affine planet. Det har orden {{nowrap|''n {{=}} 2''}}.

Betegner man de to affine koordinatene som ''(x,y)'', kan en [[linje]] i dette planet skrives som {{nowrap|''y {{=}} ax + b''}} hvor også koeffisientene ''a'' og ''b'' er binære tall. Det gir opphav til de fire linjene {{nowrap|''y {{=}} 0''}}, {{nowrap|''y {{=}} 1''}}, {{nowrap|''y {{=}} x''}} og {{nowrap|''y {{=}} x + 1''}}. I tillegg har man de to "vertikale" linjene {{nowrap|''x {{=}} 0''}} og {{nowrap|''x {{=}} 1''}}. Det gir i alt seks linjer som vist i figuren. På hver linje ligger det to punkt, mens gjennom hvert punkt løper det tre linjer. Til hver linje finnes det en parallell linje, det vil si at den ikke har noen felles punkt med den gitt linjen. Dette utgjør den såkalte ''firepunktsmodellen'' for det affine planet. 

[[Fil:Order 3 affine plane.svg|thumb|200px|right|Affint plan av orden ''n = 3''. Det har 9 punkt og 12 linjer. Linjer med samme farge er parallelle.]]
En annen måte å betrakte den, er å tenke seg de fire punktene på hjørnene av et [[tetraeder]]. Sider som forbinder forskjellige hjørner, kan da betraktes å være parallelle hvis tetraederet brukes som en illustrasjon av dette affine planet.

Ved å benytte større [[endelig kropp|tallkropper]] '''F'''<sub>n</sub>&thinsp; med ''n > 2''&thinsp; tall, kan man på samme måte konstruere større, affine plan. Det vil da inneholde ''n<sup>2</sup>'' punkter. Hver linje vil inneholde ''n&thinsp;'' punkt som følger fra å angi dem med linjekoordinater. Hvis man tenker seg et punkt ''P'' utenfor en linje ''p'', vil det være en linje gjennom ''P'' som er parallell med denne linjen. Alle andre linjer gjennom ''P'' må skjære linjen ''p'' i et punkt. Da den inneholder i alt ''n'' punkt, er det totale antall linjer gjennom hvert punkt ''P'' lik ''n + 1''. Hver linje er av formen {{nowrap|''y {{=}} ax + b''}} hvor det er i alt  ''n<sup>2</sup>'' mulige kombinasjoner av koeffisientene ''(a,b)''. I tillegg er det ''n'' ''vertikale'' linjer av formen {{nowrap|''x {{=}} k''}} da også konstanten ''k'' må tilhøre tallkroppen '''F'''<sub>n</sub>. Det totale antall linjer i planet er derfor {{nowrap|''n<sup>2</sup> + n''}}. Firepunktsmodellen har {{nowrap|''n {{=}} 2''}} og inneholder seks linjer som tidligere funnet.

Et annet eksempel er det affine planet med orden ''n = 3''. Det har i alt ni punkter og tolv linjer. Disse kan organiseres i fire grupper, hver med tre parallelle linjer som vist i figuren.