Redigerer Schrödinger-ligning (avsnitt)

===Potensialstepp===
[[Fil:Potencialovy skok.svg|thumb|280px|Illustrasjon av et ideelt potensialstepp. I virkeligheten må dette ha avrundete hjørner.]]
Hvis en klassisk partikkel beveger seg med en hastighet ''v''<sub>1</sub> inn i et potensial med en konstant verdi ''V''<sub>0</sub> < ''E'', vil den fortsette i samme retning med en redusert hastighet ''v''<sub>2</sub>. Hvis derimot ''V''<sub>0</sub>  > ''E'', vil den stoppe opp og så bevege seg tilbake med den samme hastigheten.

Kvantemekanisk kan denne situasjonen lettest beskrives ved å anta at potensialet har en plutselig forandring slik at det ser ut som et stepp eller trinn,

: <math>V(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ V_0, & x \ge 0 \end{cases}</math>

Til venstre for steppet har partikkelen en [[bevegelsesmengde|impuls]] {{nowrap|''p''<sub>1</sub> {{=}} ''mv''<sub>1</sub>}}  gitt ved at {{nowrap|''E'' {{=}}  ''p''<sub>1</sub><sup>2</sup>/2''m''.}} Løsningen av Schrödinger-ligningen i dette området har generelt formen

: <math> \psi_1(x) = A e^{ik_1x} + B e^{-ik_1x}</math>

hvor det første leddet representerer en innkommende, [[Bølge#Plane bølger|plan bølge]] med bølgetall {{nowrap|''k''<sub>1</sub>  {{=}} ''p''<sub>1</sub>/''ħ''}}. Det andre leddet beskriver den reflekterte bølgen. På høyre side av steppet når <math> E > V_0 </math> vil man kun ha en bølge <math>  \psi_2(x) = C\exp(ik_2x) </math> som beveger seg mot høyre med bølgetallet <math> k_2 = \sqrt{2m(E - V_0)}/\hbar </math> som er reelt i dette tilfellet.<ref name = Eisberg>R.M Eisberg, ''Fundamentals of Modern Physics'', John Wiley & Sons, New York (1961). </ref>

De to grensebetingelsene gir nå <math> A + B = C </math> sammen med <math> k_1(A - B) = k_2 C </math>. Herav finner man

: <math> B = {k_1 - k_2\over k_1 + k_2}A ,\;\;\; C =   {2k_1\over k_1 + k_2} A </math>

Fluksen av partikler til venstre ''x'' < 0 for steppet er gitt ved sannsynlighetsstrømmen

: <math> J_1 =  {\hbar\over 2im}\left(\psi_1^*{d\psi_1\over dx}  - \psi_1{d\psi_1^*\over dx} \right) = v_1(A^*\!A - B^*\!B) </math>

Men det første leddet representerer fluksen av innkommende partikler, gir det andre fluksen av reflekterte partikler. Forholdet mellom disse to er «refleksjonskoeffisienten»

: <math> R = {v_1B^*\!B\over v_1A^*\!A} = {(k_1 - k_2)^2\over (k_1 + k_2)^2} </math>

På samme måte er fluksen av partikler som beveger seg mot høyre ''x'' > 0 gitt ved sannsynlighetsstrømmen <math> J_2 = v_2C^*\!C </math> slik at «transmisjonskoeffisienten» er

: <math> T = {v_2C^*\!C\over v_1A^*\!A} = {k_2\over k_1} {(2k_1)^2\over  (k_1 + k_2)^2}  = {4k_1k_2 \over (k_1 + k_2)^2} </math>

Koeffisientene oppfyller <math> R + T = 1 </math> som uttrykker bevarelse av den totale sannsynligheten. En partikkel som beveger seg mot steppet, vil ikke splittes opp ved at noe av den reflekteres til venstre og resten fortsetter til høyre. Derimot har den sannsynligheten ''R&thinsp;'' for å reflekteres og ''T&thinsp;''  for å fortsette i samme retning. Da dette resultatet er uavhengig av Plancks konstant ''ħ&thinsp;'', kan det derfor synes å være i motstrid med klassisk mekanikk som sier at ingen partikler blir reflektert. Men for et realistisk potensialsstep med avrundete hjørner vil ikke dette problemet oppstå.<ref> D. Branson, ''The correspondence principle and scattering from potential steps'', American Journal of Physics '''47''' (12), 1101–1102 (1979).</ref>

I det motsatte tilfellet der <math> E < V_0 </math>  vil en klassisk partikkel ikke trenge inn i potensialet og alltid bli reflektert. Det følger også fra kvantemekanikken siden bølgetallet ''k''<sub>2</sub> = ''i&kappa;''<sub>2</sub> dette tilfellet blir rent imaginært med

: <math> \kappa_2 = {1\over\hbar} \sqrt{2m(V_0 - E)} </math>

Dermed blir <math> B^*\!B/A^*\!A = 1 </math> slik at refleksjonskoeffisienten <math> R = 1</math>. På høyre side er ikke sannsynlighetsbølgen lik null, men [[Eksponensialfunksjon|eksponensielt]] avtagende, <math> \psi_2(x) = C\exp(-\kappa_2x)</math>. Dette er en reell funksjon slik at sannsynlighetsstrømmen her blir <math> J_2 = 0 </math> og derfor <math> T = 0 </math>. Men sannsynlighetstettheten for å finne partikkelen i dette området er ikke null og proporsjonal med <math> |\psi_2(x)|^2 </math>. Hvis potensialsteppet hadde en endelig lengde, vil partikkelen derfor ha en viss sannsynlighet for å kunne komme ut på den andre siden. Det ville da være et eksempel på kvantemekanisk [[WKB-approksimasjon#Kvantetunnelering|tunnellering]].<ref name = Eisberg/>

Reflekson og transmisjon fra et potensialstepp har mange likhetspunkter med en klassisk lysbølge som beveger seg fra et medium med [[brytningsindeks]] ''n''<sub>1</sub> vinkelrett inn i et annet medium hvor denne er ''n''<sub>2</sub> og konstant.<ref name = Hecht> E. Hecht, ''Optics'', Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (1998). ISBN 0-201-30425-2.</ref>