Redigerer Plancks strålingslov (avsnitt)

==Fenomenologisk utledning==
[[Fil:Bundesarchiv Bild 183-R0116-504, Max Planck.jpg|thumb|Max Planck i 1901 da hans strålingsformel ble publisert.]]

Planck var overbevist om at det var en absolutt egenskap at systemets [[entropi]] aldri kan avta av seg selv. Han hevdet at dette var like grunnleggende som at et systems energi er konstant. I 1877 hadde [[Ludwig Boltzmann]] kommet med en annen tolkning av entropi hvor den er bestemt av den mest sannsynlige tilstanden for systemet. Planck brydde seg lite om dette. Han hadde bestemt seg for at han ville utlede Wiens lov ved å vise at den generelle egenskapene til strålingen kunne begrunnes ut fra at [[termodynamikkens andre lov]] er absolutt.

===Planck-Wiens strålingslov===
Tidlig i [[1900]] kunne han presentere en utledning som viste at den spektrale energitettheten måtte være på formen<ref>M. Planck, ''Entropie und Temperatur strahlender Wärme'', Annalen der Physik '''1'''(4), 719-737 (1900).  [http://www.cdvandt.org/Band%201%20Kap%209%20Heft%204.pdf PDF.]</ref>

: <math>  u_\nu(T) = C\nu^3  e^{-b\nu/T}  </math>

i overensstemmelse med  [[Wiens strålingslov]]. De to konstantene ''C'' og ''b''  kunne bestemmes slik at formelen stemte med  målinger primært utført av [[Friedrich Paschen|F. Paschen]] for bølgelengder ''&lambda;'' = 1&thinsp;&mu;m - 4&thinsp;&mu;m.<ref>F. Paschen, Annalen der Physik und Chemie '''58''', 455-492 (1896); '''60''', 663-723 (1897).</ref><ref>F. Paschen, Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 405, 959 (1899).</ref> Denne enkle strålingsloven ble nå omtalt som ''Planck-Wiens formel'' da den var i overensstemmelse både med teori og eksperiment.

Men i løpet av høsten 1900 ble resultatet av nye målinger kjent. De var utført av Rubens og Kurlbaum<ref>H. Rubens und F. Kurlbaum, '' "Über die Emission langwelliger Wärmestrahlen durch den schwarzen Körper bei verschiedenen Temperaturen'', Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 929-941 (1900).   [http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1901ApJ....14..335R/0000335.000.html PDF]</ref><ref>H. Rubens und F. Kurlbaum, ''Anwendung der Methode der Reststrahlen zur Prüfung des Strahlungsgesetzes'', Annalen der Physik '''309''' (4), 649-666 (1901). [http://zs.thulb.uni-jena.de/servlets/MCRFileNodeServlet/jportal_derivate_00149131/19013090402_ftp.pdf PDF]</ref> og bekreftet tidligere observasjoner gjort av Lummer og Pringsheim for bølgelengder opp til 18&thinsp;&mu;m.<ref>O. Lummer und E. Pringsheim, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft '''1''', 23, 215 (1899);  '''2''', 163 (1900).</ref> Rubens hadde informert Planck om disse nye resultatene før de var blitt bekjentgjort.  De var gjort ved lavere frekvenser i området for [[infrarød stråling]] som tilsvarer bølgelengder helt opp til 60&thinsp;&mu;m og observert som ''Reststrahlen''. Her skulle energitettheten ifølge formelen variere som tredje potens av frekvensen, men ble observert å heller variere som kvadratet av den. For en gitt frekvens i dette området varierte den i tillegg proporsjonalt med temperaturen, noe som var i direkte motstrid med hva formelen sa.

===Entropien til en Wien-resonator===
Fra [[termodynamikk]] følger at man alltid må ha sammenhengen {{nowrap|(&part;''S''/&part;''E'')<sub>''V''</sub> {{=}} 1/''T''}} mellom [[entropi]] ''S'', energi ''E'' og temperaturen ''T''. I dette problemet med varmestråligen ble volumet holdt konstant. Planck brukte denne termodynamiske relasjonen til å regne ut entropien til en materiell resonator. Det gjorde han ved å kombinere sin likevektsligning med [[Wiens strålingslov|Wiens formel]] som ga at energien til resonatoren måtte vœre

: <math>  E(\nu,T) = {Cc^3\nu \over 8\pi} e^{-b\nu/T}  </math>

som funksjon av temperaturen. Løser man denne ut, finner man {{nowrap|1/''T'' {{=}} - (1/''b&nu;'')log(8''&pi;E/Cc''<sup>3</sup>&nu;)}} som igjen skal være lik &part;''S''/&part;''E''. Ved en enkel integrasjon hadde Planck da entropien ''S''(''E'') til en resonator.

I stedet for å integrere, kan man derivere samme uttrykket med hensyn på energien. Det gir med en gang &part;<sup>2</sup>''S''/&part;''E''<sup>2</sup> = -1/''b&nu;E'', noe som Planck fant svært tilfredsstillende da høyresiden her alltid er negativ. Systemet er da garantert å være termodynamisk stabilt med en entropi som ikke kan avta.

===Energien til en Planck-resonator===
Men de nye måleresultatene hadde vist at alt dette likevel ikke lenger var helt riktig. Planck gikk derfor tilbake til resultatet han hadde funnet for den andrederiverte av entropien som nå bare kunne være riktig for stor verdier av frekvensen ''&nu;''. Han prøvde å modifisere det slik at han kunne få ny overensstemmelse med dataene samtidig som at kravet &part;<sup>2</sup>''S''/&part;''E''<sup>2</sup> <  0 alltid var oppfylt. På den måten kom han frem til at

: <math> {\partial^2 S\over\partial E^2} = - {k\over E(h\nu + E)} </math>

hvor ''h'' og ''k'' er to ukjente konstanter. Når nå ''hv'' >> ''E'', er man tilbake i Wiens tilfelle med {{nowrap|''b'' {{=}} ''h''/''k''}}. Dermed er overensstemmelsen med Wiens lov ved høye frekvenser  sikret. Ved så igjen å integrere over energien, fant Planck herav at 1/''T'' = (''k''/''h&nu;'')&thinsp;log(1 + ''h&nu;''/''E'') eller

: <math> E(\nu,T) =  {h\nu\over e^{h\nu/kT} - 1}</math>

Innsatt i sin likevektsformel hadde dermed Planck funnet sin nye strålingslov som nå stemte med alle målingene.

Dette revolusjonerende resultatet ble presentert av Planck på et møte i videnskapsselskapet i Berlin den 19. oktober 1900.<ref>M. Planck, ''Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum'', Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 237-245 (1900).  {{Kilde www |url=http://www.christoph.mettenheim.de/planck-energieverteilung.pdf |tittel=Arkivert kopi |besøksdato=2014-05-06 |arkiv-url=https://web.archive.org/web/20150807054128/http://www.christoph.mettenheim.de/planck-energieverteilung.pdf |arkivdato=2015-08-07 |url-status=død }}</ref><ref>M. Planck, ''Über eine Verbesserung der Wienschen Spektralgleichung'', Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft '''2''', 202–204 (1900). [http://membranes.nbi.dk/Kaufmann/publicationlinks/1900_Planck_VPG.pdf PDF] {{Wayback|url=http://membranes.nbi.dk/Kaufmann/publicationlinks/1900_Planck_VPG.pdf |date=20160307232747 }}.</ref> Konstantene ''h'' og ''k'' inngikk ikke eksplitt i hans utledning slik som her, bare kombinasjonen {{nowrap|''h''/''k'' {{=}} ''b''}}. Men når ''h&nu;''/''kT'' > 1, gjenfinnes [[Wiens strålingslov]] med konstanten {{nowrap|''C'' {{=}} 8''&pi;h''/''c''<sup>3</sup>}} slik at de to nye konstantene kunne bestemmes fra målingene. I den motsatte grensen {{nowrap|''h&nu;''/''kT'' < 1}} går den over i [[Rayleigh-Jeans' strålingslov]] hvor energitettheten til strålingen er proporsjonal med temperaturen som påvist i målingene ved lave frekvenser.

Etter å ha kommet frem til dette resultatet, ble den tidligere Planck-Wiens lov igjen omtalt som kun Wiens strålingslov.