Redigerer Plücker-koordinater (avsnitt)

==Grassmann-mangfoldigheter==
[[Fil:Secretsharing-3-point.png|thumb|300px|Hvert todimensjonalt [[plan (matematikk)|plan]] i det tredimensjonale [[vektorrom]]met '''R'''<sup>3</sup> angir et punkt i Grassmann-mangfoldigheten  '''Gr'''(2,3).]] 

Den firedimensjonale Klein-kvadrikken er et eksempel på det som i dag omtales som en Grassmann-mangfoldighet etter [[Hermann Grassmann]]. Den kom frem ved å betrakte vilkårlige linjer i '''E'''<sup>3</sup> som ekvivalent med todimensjonale plan gjennom origo i '''E'''<sup>4</sup>. Man kan derfor betegne denne [[mangfoldighet]]en som '''Gr'''(2,4) for å klargjøre at den kommer frem ved å betrakte alle 2-dimensjonale underrom i et 4-dimensjonalt vektorrom. Det er her '''E'''<sup>4</sup>, men kunne likså godt vært '''R'''<sup>4</sup> da man ikke behøver det euklidske [[indreprodukt]]et.<ref name = BLW> B.L. van der Waerden, ''Einführung in die Algebraische Geometrie'', Springer-Verlag, Berlin (1973). ISBN 978-3-642-86499-5.</ref>

En generell Grassmann-mangfoldighet '''Gr'''(''k'',''n'') er definert som mangfoldigheten av alle ''k''-dimensjonale underrom i et ''n''-dimensjonalt vektorrom. Det kan være '''R'''<sup>''n''</sup> eller '''C'''<sup>''n''</sup> hvis [[vektorrom]]met er  [[komplekst tall|komplekst]]. Hvis det reelle vektorrommet benyttes, vil derfor '''Gr'''(1,''n'') = '''RP'''<sup>''n'' - 1</sup>  som er det (''n'' - 1)-dimensjonale, [[projektiv geometri|projektive rommet]] definert ved alle linjer som går gjennom origo i '''R'''<sup>''n''</sup>. Kanskje det mest kjente eksempel er '''Gr'''(1,3) som er det [[projektivt plan|projektive planet]]. Da hvert plan i et tredimensjonalt vektorrom kan angis ved vektoren vinkelrett på planet, vil '''Gr'''(2,3) og '''Gr'''(1,3) være de samme og betraktes som kuleflater der motsatte punkt identifiseres med hverandre.<ref name = BLW/>

Hvert  ''k''-dimensjonalt underrom i '''R'''<sup>''n''</sup> kan angis ved ''k'' lineært uavhengige vektorer '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, ... , '''v'''<sub>''k''</sub>. Deres [[Grassmann-algebra#Kileproduktet|ytre produkt]] tilhører vektorrommet &Lambda;<sup>''k''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>) av den tilsvarende [[Grassmann-algebra]]en. Vektorrommet har en dimensjon gitt ved [[binomialkoeffisient]]en ''C''(''k'',''n'') som dermed også angir antall, generaliserte Plücker-koordinater som karakteriserer et slikt underrom. De inngår som elementer i en ''k'' &times; ''k'' Plücker-matrise. For Plückers opprinnelige koordinater var {{nowrap|''n'' {{=}} 4}} og {{nowrap|''k'' {{=}} 2}}, som gir {{nowrap|''C''(2,4) {{=}} 4!/2!&sdot;2!}} = 6.

Beskrivelsen av underrommet må være uavhengig av valg av basisvektorer i dette rommet. Det medfører at disse koordinatene er homogene da alle komponentene forandres med den samme størrelsen ved et slikt basisskifte. Hvert underrom tilsvarer derfor et punkt i et projektivt rom '''RP'''<sup>''N''</sup> med dimensjon ''N'' = ''C''(''k'',''n'')  - 1. Men i det generelle tilfellet vil det også være et visst antall Plücker-betingelser som må være oppfylt. Tar man hensyn til disse, er antall uavhengige koordinater {{nowrap|''k''(''n'' - ''k'')}} som dermed er dimensjonen til Grassmann-mangfoldigheten '''Gr'''(''k'',''n'').  For {{nowrap|''k'' {{=}} 2}} og {{nowrap|''n'' {{=}} 4}} gir dette 4 som er i overensstemmelse med dimensjonen til Klein-kvadrikken.<ref name = GH>  P. Griffiths and J. Harris, ''Principles of algebraic geometry'', John Wiley & Sons, New York (1994). ISBN 978-0-471-05059-9.</ref>