Redigerer P-adisk tall (avsnitt)

==Periodiske utviklinger==

Det sentrale tallet (...111)<sub>''p''</sub> = ({{overlinje|1}})<sub>''p''</sub> er gitt ved den uendelige, geometriske rekken 

: <math> S = 1+ p + p^2 + \cdots </math>

som nå er konvergent da |''p''&thinsp;|<sub>''p''</sub> = 1/''p'' < 1 når ''p'' &ge; 2. Summen er derfor ''S'' = 1/(1 - ''p'') som er en brøk i intervallet mellom - 1 og 0. Dette går tilbake til [[Euler]].<ref name = Euler/>. For eksempel, så er

: <math>\begin{align} - 1&= 1 + 2 + 4 + 8 + \cdots \\ - {1\over 2}&  = 1 + 3 + 9 + 27 + \cdots \end{align}</math>

for henholdsvis ''p'' = 2 og ''p'' = 3. Alle periodiske, ''p''-adiske tall er brøker i det samme intervallet. Det tilsvarer at at hvert rasjonalt tall kan skrives som et [[periodisk desimaltall]].<ref name = Childs/>

Denne egenskapen kan man se ved å betrakte det periodiske tallet ''x'' = (... ''ababab'')<sub>''p''</sub> = ({{overlinje|''ab''}})<sub>''p''</sub> hvor 0 &le; ''a,b'' < ''p'' med ''b'' &ne; 0. Ved en ''p''-adisk utvikling kan dette skrives som

: <math>\begin{align} x &= (a\cdot p + b) \cdot (1 + p^2 + p^4 + \cdots) \\ &= {(ab)_p\over 1 - p^2}  \end{align}</math>

da denne geometriske rekken er konvergent på tilsvarende måte. For eksempel,  det 3-adiske tallet ''x'' = ({{overlinje|12}})<sub>3</sub> gir brøken

: <math> x = {3 + 2\over 1 - 3^2} = - {5\over 8} , </math>

mens ({{overlinje|12}})<sub>5</sub> = - 7/24 på samme måte. 

I det generelle tilfellet der perioden er ''k'' lang, er

:  <math> (\overline{n_{k-1}n_{k-2}\cdots n_0})_p = {(n_{k-1}n_{k-2}\cdots n_0)_p\over 1 - p^k} </math>

Det gir for eksempel, at  ({{overlinje|1012}})<sub>3</sub> = - 2/5 da (1012)<sub>3</sub> = 1&sdot;3<sup>3</sup> + 0&sdot;3<sup>2</sup>  + 1&sdot;3<sup>1</sup> + 2 = 32 og 1 - 3<sup>4</sup> = 80.

Positive brøker i intervallet mellom 0 og 1 kan finnes ved [[negasjon]] av den ''p''-adiske representasjonen for den tilsvarende, negative brøken. Som for [[totallssystem|binære tall]] gjøres det ved ''p''-komplementering av hvert siffer i representasjonen etterfulgt addisjon av 1. Dette kan illustreres med komplementet av ({{overlinje|1012}})<sub>3</sub> som derfor blir ({{overlinje|1210}})<sub>3</sub> = (...12101210)<sub>3</sub>. Ved å legge til 1 får man (...12101211)<sub>3</sub> = ({{overlinje|0121}}1)<sub>3</sub> = + 2/5. Det verifiseres ved at ({{overlinje|1012}})<sub>3</sub> + ({{overlinje|0121}}1)<sub>3</sub> = ({{overlinje|0}})<sub>3</sub> = 0. På samme vis er -1/3 = ({{overlinje|13}})<sub>5</sub>, mens +1/3 =  ({{overlinje|13}}2)<sub>5</sub>. Den positive brøken er ikke fullstendig periodisk.<ref name = Gouvea/>

Multiplikasjon av et ''p''-adisk tall i '''Z'''<sub>''p''</sub> med en potens ''p''<sup>''n''</sup> betyr at å addere ''n'' nuller til høyre i representasjonen av tallet. Det tilsvarer å flytte separasjonstegnet til høyre. Derimot når ''n'' <  0 må dette flyttes ''n'' plasser til venstre som tilsvarer at det blir et tall i kroppen '''Q'''<sub>''p''</sub>. For eksempel er -2/45 = (-2/5&sdot;9) som dermed blir

: <math>\begin{align}  {1\over 3^2}(\overline{1012})_3 &= {2\over 3^2} + {1\over 3} + 0 + 1\cdot 3 + 2\cdot 3^2 + 1\cdot 3^3 + \cdots\\  
&= {5/9} + (1210)_3(1 + 3^4 + 3^8 + \cdots ) \\ &= {5\over 9} + {48\over 1 - 3^4} =  - {2\over 45} = (\overline{1210}.12)_3 \end{align} </math>

da (1210)<sub>3</sub> = 1&sdot;3<sup>3</sup> + 2&sdot;3<sup>2</sup>  + 1&sdot;3<sup>1</sup> + 0 = 48.