Redigerer Matrise (avsnitt)

== Matriseoperasjoner ==

=== Elementære operasjoner ===

De følgende rekkeoperasjonene er kalt de elementære rekkeoperasjonene:<ref name=HL12>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.12 </ref>

* Ombytting av to rekker i matrisen.
* [[Multiplikasjon]] av alle elementene i en rekke med et tall ulik null.
* Addisjon av et multiplum av en rekke til en annen rekke.  

De elementære søyleoperasjonene er definert tilsvarende.  Sammen utgjør disse de elementære matriseoperasjonene.     

=== Addisjon og subtraksjon ===
To matriser <math>A</math> og <math>B</math> med samme dimensjon kan adderes ved å summere de enkelte elementene:<ref name=HL3>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.3 </ref>

: <math>
\begin{alignat}{2}
A &= \begin{bmatrix}a_{ij}\end{bmatrix}_{nm} \\
B &= \begin{bmatrix}b_{ij}\end{bmatrix}_{nm}
\end{alignat} \qquad C = A + B = \begin{bmatrix}a_{ij} + b_{ij}\end{bmatrix}_{nm}
</math>

[[Subtraksjon]] defineres tilsvarende.  Fra definisjonen følger det umiddelbart at matriseaddisjon er [[kommutativ lov|kommutativ]], det vil si at <math>A + B = B + A</math>.

=== Skalarmultiplikasjon ===
Multiplikasjon med en [[skalar]] <math>k</math> er definert ved å multiplisere alle elementene i matrisen:<ref name=HL3/>

: <math>
k A = \begin{bmatrix}k a_{ij}\end{bmatrix}_{nm} 
</math>

De to operasjonene matriseaddisjon og skalarmultiplikasjon gjør at mengden av ''(n''×''m)''-matriser definerer et [[vektorrom]].

=== Matrisemultiplikasjon ===
Dersom <math>A</math> er en ''(n''×''m)''-matrise og <math>B</math> er en ''(m''×''p)''-matrise,
så kan produktmatrisen <math>C = A B</math> defineres ved at matrise-elementene til <math>C</math> er gitt ved summen<ref name=HL3/>

: <math>c_{ik} = \Sigma_{j=1}^m a_{ij} b_{jk}</math>.

Her er <math>a_{ij}</math> og <math>b_{jk}</math> matrise-elementene til <math>A</math> og <math>B</math>.
Produktmatrisen ''C'' er en ''(n''×''p)''-matrise.

Matrisemultiplikasjon er [[assosiativ lov|assosiativ]], slik at <math>(AB)C = A(BC)</math>, når matrisene <math>A</math>, <math>B</math> og <math>C</math> 
er slik at multiplikasjonene er definert. Videre er multiplikasjon [[distributiv lov|distributiv]] med hensyn på addisjon, slik at <math>(A + B)C = AC + BC</math> og <math>A(B+ C) = AB + AC</math>. 
Derimot er multiplikasjonen ikke kommutativ, slik at <math>AB</math> generelt ikke er lik <math>BA</math>. Produktene <math>AB</math> og <math>BA</math> 
vil bare være definert samtidig dersom <math>A</math> har dimensjonen ''(n''&nbsp;×&nbsp;''m)'' og <math>B</math> har dimensjonen ''(m''&nbsp;×&nbsp;''n)''. Dette er tilfelle dersom begge matrisene er kvadratiske.

Et [[indreprodukt|skalarprodukt]] mellom to vektorer kan betraktes som et produkt av en rekkematrise og en søylematrise.  Matriseproduktet kan en dermed se på som 
en generalisering av skalarproduktet.<ref name=AP54>[[#AP|T.M. Apostol: ''Calculus '', Bind II ]] s.54 </ref>

Produkt av en matrise med seg selv kan skrives som en potens: <math>A^3 = A A A</math>. Ved å addere slike potenser kan en også lage matrisepolynom. 
En kan også definere [[kvadratrot]]en av en matrise <math>A</math> som en matrise <math>B</math> med egenskapen <math>B^2 = A</math>.<ref name=HL8>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.8 </ref> 

Med matrisemultiplikasjon er mengden av matriser en [[gruppe (matematikk)|gruppe]]. Med både addisjon og multiplikasjon er mengden også en [[algebraisk struktur]].

=== Kronecker-produkt ===
Dersom <math>A</math> er en ''(n''×''m)''-matrise og <math>B</math> er en ''(p''×''q)''-matrise, så er Kronecker-produktet definert ved<ref name=HL3/>

: <math>
A \otimes B =  \begin{bmatrix}
    a_{11}B & a_{12}B & \cdots & a_{1m} B\\
    a_{21} B& a_{22} B& \cdots & a_{2m} B\\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    a_{n1}B & a_{n2} B& \dots & a_{nm}B
  \end{bmatrix}
</math>

Resultatmatrisen har dimensjon (''np'')×(''mq''). Produktet kalles også tensorprodukt og direkte produkt.

=== Hadamard-produkt ===
Hadamard-produktet eller Schur-produktet for matriser er et elementvis produkt av to matriser med samme dimensjon ''(n''×''m)'':<ref name=HL3/>

: <math>
A \odot B = \begin{bmatrix}a_{ij} b_{ij} \end{bmatrix}_{nm} 
</math>

=== Direkte sum ===
Den direkte summen av to kvadratiske matriser er definert ved<ref name=HL4>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.4</ref>
: <math>
A \oplus B = \begin{bmatrix} A  & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}
</math>

=== Transponering ===
Den transponerte matrisen <math>A^T</math> er definert ved en ombytting av rekker og kolonner i den opprinnelige matrisen <math>A</math>:<ref name=HL5>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.5 </ref>

: <math>
A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{nm}

\qquad

A^T  = 
\begin{bmatrix}
a_{ji}
\end{bmatrix}_{mn}.
</math>

For den transponerte matrisen brukes også notasjonen <math>A^t</math>, <math>A^{tr}</math>, <math>A'</math> og <math>A^*</math>.<ref name=AP91>[[#AP|T.M. Apostol: ''Calculus '', Bind II ]] s.91</ref><ref name=HLX1/><ref name=FB2>[[#FB| Fr. Fabricius-Bjerre: ''Lærebog i geometri....'']] s.2 </ref>

=== Konjungert transponering ===
Den konjugert-transponerte matrisen <math>A^H</math> er definert ved en ombytting av rekker og kolonner i den opprinnelige matrisen <math>A</math> samt [[kompleks konjugasjon]] av matrise-elementene:<ref name=HL5/>

: <math>
A = 
\begin{bmatrix}
a_{ij}
\end{bmatrix}_{nm}

\qquad

A^H  = 
\begin{bmatrix}
\overline{a}_{ji}
\end{bmatrix}_{mn}
</math>

<math>A^H </math> kalles også den hermitsk-adjungerte til matrisen. Notasjonen <math>A^\dagger </math> er også brukt.{{tr}}

=== Invers ===
Inversen til en kvadratisk matrise <math>A</math> er definert som den entydig bestemte matrisen <math>A^{-1}</math> som oppfyller ligningen<ref name=HL7>[[#HL| H. Lütkepohl: ''Handbook of matrices'']] s.7</ref>

: <math>A A^{-1} = A^{-1} A = I  \, </math>

der <math>I</math> er [[identitetsmatrise]]n.

Matrisen <math>A</math> er invertibel hvis determinanten til <math>A</math> er ulik null: <math>\det A \ne 0</math>. I motsatt fall er matrisen singulær.

En (2×2)-matrise kan inverteres med formelen

:<math>A^{-1}={1\over \det A}  \begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12} \\ -a_{21}&a_{11}\end{bmatrix} =  \frac{1}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \begin{bmatrix}a_{22}&-a_{12} \\ -a_{21}&a_{11}\end{bmatrix}   </math> .

=== Generalisert invers ===

For en generell matrise <math>A</math> er en generalisert invers <math>A^-</math> en matrise som oppfyller ligningen<ref name=HL7/>

: <math>A A^- A = A \, </math>.

Dersom <math>A</math> er en kvadratisk ''(n''×''n)''-matrise med rang ''n'', så er <math>A^- = A^{-1}</math>. Den generaliserte inversen er generelt ikke entydig.