Redigerer Matematikk (avsnitt)

=== Forskningsutfordringer ===
Matematisk forskning er like vanskelig å karakterisere som begrepet «matematikk», og forskningen spenner over et svært vidt felt av emner.  I det følgende er noen former for problemstillinger i matematisk forskning skissemessig omtalt, uten krav på å være systematisk, ikke-overlappende eller fullstendig.  

* '''Kjente hypoteser og problem'''

Gjennom historien har det vært framsatt mange [[hypotese]]r og ''formodninger'' (antagelser, påstander, engelsk: conjectures), der en formulert mer eller mindre presise matematiske utsagn uten bevis.
Noen av disse påstandene og hypotesene har vist seg å ikke være riktige, for eksempel [[Marin Mersenne]]s berømte antagelse om [[primtall]].  Andre hypoteser har vært mulig å bevise:  
[[Fermats siste teorem]] ble skrevet som en merknad i 1637 og ble bevist først i 1995, av [[Andrew Wiles]].  Slike formodninger er ofte så mye omtalt og studert at de blir gitt egne navn, og mange står fremdeles uten falsifikasjon eller bevis, for eksempel [[Goldbachs formodning]] og [[Riemann-hypotesen]].  

En hypotese innebærer en gjetning om problemløsningen; en påstand om at det eksisterer en løsning eller et utsagn om formen på løsningen.  Kjente problemstillinger kan imidlertid være formulert mer åpent, uten å si noe om løsningen, og også slike problemstillinger utfordrer forskningen.  
[[Hilbertproblemene]] er en liste på 23 matematiske problem publisert av [[David Hilbert]] i 1900, problem som da de ble publiserte var uten kjent løsning.  Noen av problemene var formulert som formodninger, andre som åpne problem. [[Millenniumprisproblem]]ene er en lignende liste, framsatt i år 2000.  

Forskning kan også resultere i en påvisning av at et formulert problem ''ikke'' har en løsning, slik som [[Leonhard Euler]] viste for problemet kalt «[[Broene i Königsberg]]».

* '''Matematisk teoribygging'''

Mange av de vitenskapelige prisene er de siste årene er begrunnet med utsagn av typen «har gitt viktige bidrag til teorien om ...».  Målet for slik forskning er å bygge opp en så helhetlig kunnskap som mulig om et valgt område.
Dette gjøres på mange måter, ved å kartlege strukturer, undersøke relasjoner til andre grener av matematikk og ved å utlede konsekvenser av en kjent teori.  Ofte bygges en teori stein på stein, som en lang følge av teorem og beviser.  En oversikt publisert i 2005 anslo at databasen ''Mathemathical Reviews''<ref name=REVIEW1/>, en database over vitenskapelige matematiske artikler publisert siden 1940, inneholdt over 1,9 million artikler, og storparten av disse presenterte teorem og tilhørende bevis.<ref name=REVIEW2/>

I samsvar med ønsket om abstraksjon kan generaliseringer og sammenknytninger av ulike teorier være viktige resultat.  
[[Akshay Venkatesh]] fikk Fieldsmedaljen i 2018 for «syntese av analytisk tallteori, homogen dynamikk, topologi og representasjonsteori».<ref name=FIELDS2018/>

* '''Utvikling av matematiske arbeidsmetoder'''

Til hjelp i problemløsning blir det utviklet stadig nye matematiske arbeidsmetoder.  Dette kan være analysemetoder, [[algoritme]]r og løsningsmetoder, modelleringsmetoder, beregningsmetoder osv; alt som utvider den matematiske verktøykassen.

Effektiv bruk av ny datamaskin-teknologi kan for eksempel stille andre og nye krav til metodene som blir benyttet, som
krav til å kunne [[Parallellprosessering|paralleliseres]] på en effektiv måte. 
Forbedring av metoder for å løse svært store [[Lineært ligningssystem|lineære ligningssystem]] er svært viktig for mange praktiske anvendelser.  
  
Kartlegging av egenskaper kan være viktige bidrag til forståelsen av en matematiske metode, for eksempel en undersøking av ''stabilitet'' til en [[numerisk analyse|numerisk metode]]. 

* '''Ligningsløsning'''

Matematisk teori inneholder svært mange typer av [[ligning]]er, og beskrivelse av eksakte og tilnærmede løsninger av ligninger er et utømmelig område for matematisk arbeid. 
[[Differensialligning]]er er svært viktig i all anvendt matematikk.  I ren matematikk studeres blant annet [[algebraisk ligning|algebraiske ligninger]] og [[diofantisk ligning|diofantiske ligninger]].  

Matematikere kan være beryktet for tilsynelatende å være fornøyd med å vise ''eksistens og entydighet'' for løsningen til en ligning:  Selv om ikke greier å vise hva løsningen er, så kan en vise at det eksisterer en og kun en løsning.  

* '''Kartleging av matematiske egenskaper'''

Kartlegging og beskrivelse av matematiske egenskaper til definerte objekter og strukturer er en viktig del av matematisk forskning.  Da nordmannen [[Atle Selberg]] i 1950 fikk Fieldsmedaljen for fremragende matematisk forskning, var dette delvis begrunnet i en karakterisering av nullpunkt i [[Riemanns zetafunksjon]].

* '''Nye områder og anvendelser'''

Faget matematikk blir stadig utvidet til nye felt og tatt i bruk i nye sammenhenger. [[Spillteori]], der matematisk teori brukes til å undersøke adferd og valgsituasjoner, er en relativt ny vitenskapsgrein, utviklet etter andre verdenskrig.