Redigerer Kvantisert dreieimpuls (avsnitt)

===Sfærisk harmoniske funksjoner===
Et makroskopisk objekt som roteres 360&deg; eller  2''&pi;&thinsp;'' [[radian]]er om en akse, vil komme tilbake til sin opprinnelige. stilling. Den tilsvarende bølgefunksjonen må derfor være den samme for ''&phi;'' = 0 som for ''&phi;'' =  2''&pi;''. Et slikt objekt må derfor ha et asimutal kvantetall ''m'' som er [[heltall]]ig. Det betyr igjen at kvantetallet ''j&thinsp;'' også må ha slike verdier. For slik orbital bevegelse. er det derfor vanlig å angi det med symbolet ℓ som da tar verdiene ℓ = 0, 1, 2, 3 og så videre. De tilsvarende egenfunksjonene skrives nå som  {{nowrap|''Y''<sub>ℓ''m''</sub>(''&theta;,&phi;'')&thinsp;}} og kalles for [[sfærisk harmoniske funksjoner]].

Funksjonen ''y''<sub>ℓ''m''</sub>(''&theta;'') kan finnes ved bruke senkeoperatoren <math> \hat{L}_- </math> på den høyeste egenvektoren <math> |\ell ,\ell \rangle. </math> Dens bølgefunksjon finnes fra definisjonen <math>  \hat{L}_+  |\ell ,\ell \rangle = 0. </math>
Den gir differensialligningen 

: <math> \left(\frac{\partial}{\partial\theta} - \ell \cot\theta \right)y_{\ell\ell}(\theta) = 0 </math>

med løsningen <math> \sin^\ell\!\theta </math>. Den fulle bølgefunksjonen for denne tilstanden er derfor

: <math> Y_{\ell\ell}(\theta,\phi) = N_\ell  \sin^\ell\!\theta\, e^{i\ell\phi} </math>

hvor <math> N_\ell </math> er en normeringskonstant. Den bestemmes fra <math> \langle \ell,m |\ell',m' \rangle = \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'} </math> eller

: <math> \int_0^{2\pi}\! d\phi \! \int_0^\pi \! d\theta\sin\theta \,Y_{lm}^{*}(\theta,\phi) \, Y_{l'm'}(\theta,\phi) = \delta_{l\,l'} \, \delta_{mm'} </math>

for ''m'' = ''m'&thinsp;'' = ℓ. Benytter man da integralet<ref name = AS> M. Abramowitz and I.A. Stegun,  ''Handbook of Mathematical Functions'', Dover, New York (1972).</ref>

: <math> \int_0^\pi\!d\theta \sin^{2\ell +1}\!\theta = {2(2^\ell \ell!)^2\over (2\ell + 1)!}, </math>

finner man for normeringskonstanten verdien

: <math> N_\ell = {(-1)^\ell\over 2^\ell \ell!} \sqrt{(2\ell + 1)!\over 4\pi} </math>

hvor fortegnet er konvensjonelt bestemt.<ref name = Liboff/>

Ved å anvende senkeoperatoren <math> L_- </math>  på den høyeste egenfunksjonen, kommer man frem til den generelle egenfunksjonen 

: <math> Y_{\ell m}(\theta,\phi) = \sqrt{(\ell + m)!\over (2\ell)! (\ell - m)!} \left({L_- \over\hbar} \right)^{\ell - m} Y_{\ell\ell}(\theta,\phi) </math>

Dette kan forenkles ved å gjøre bruk av at

: <math> \left({L_- \over\hbar} \right)^{\ell - m} e^{i\ell\phi} \sin^\ell\!\theta =  e^{im\phi} \sin^{-m}\!\theta \left({d\over d\cos\theta}\right)^{\ell - m}\sin^{2\ell}\!\theta , </math>

slik at det endelige resultatet  for disse egenfunksjonene blir

: <math> Y_{\ell m}(\theta,\phi) = {(-1)^\ell \over 2^\ell \ell!} \sqrt{{2\ell + 1\over 4\pi}\cdot {(\ell + m)!\over (\ell - m)!}}{1\over\sin^m\!\theta} \left({ d\over d\cos\theta}\right)^{\ell - m}\sin^{2\ell}\!\theta \, e^{im \phi}  </math>

I det spesielle tilfellet at ''m'' = 0 har man dermed at

: <math> Y_{\ell 0}(\theta,\phi) = \sqrt{{2\ell + 1\over 4\pi}} P_\ell(\cos\theta) </math>

kommer ut med konvensjonelt riktig fortegn når funksjonene reduseres til [[Legendre-polynom]].<ref name = Sakurai> J.J. Sakurai, ''Modern Quantum Mechanics'', The Benjamin/Cummings Publishing Company, Menlo Park CA (1985). ISBN 0-8053-7501-5.</ref>