Redigerer Kvantemekanikk (avsnitt)

===Kvantisering av dreieimpuls===

Når partikkelen har en impuls '''p''', har den samtidig en [[dreieimpuls]] <math> \mathbf{L} = \mathbf{x} \times \mathbf{p} </math> om origo. Kvantemekanisk gir det opphav til matrisene <math>  \,\hat\mathbf{L} = \hat\mathbf{x} \times\hat\mathbf{p}. </math> Fra definisjonen av [[vektorprodukt]]et kan man skrive de tre komponentene som <math> \hat{L}_a = \varepsilon_{abc} \hat{x}_b\hat{p}_c </math> ved bruk av [[Levi-Civita-symbol]]et og summerer over de to like indeksene på høyre side.

Ved direkte utregning finner man kommutatoren <math>  [\hat{L}_a, \hat{x}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{x}_c </math> og den tilsvarende <math>  [\hat{L}_a, \hat{p}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{p}_c  </math>  som er typisk for kommutatoren med alle vektoroperatorer. Kombineres disse to uttrykkene, får man <math>  [\hat{L}_a, \hat{L}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}\hat{L}_c </math>  som alternativt kan skrives som

: <math> \hat\mathbf{L} \times \hat\mathbf{L} = i\hbar\,\hat\mathbf{L}.  </math>

Denne matematiske sammenhengen gir grunnlaget for all [[Matrisemekanikk#Kvantisering av spinn|kvantisering av spinn]] hvor man med [[spinn]] mener ikke bare orbital dreieimpuls som er benyttet her, men alle sammenhenger hvor man har tre variable som oppfyller <math> \hat\mathbf{S} \times \hat\mathbf{S} = i\hbar\,\hat\mathbf{S}.  </math> Da slike spinnmatriser ikke kommuterer med hverandre, kan de ikke diagonaliseres samtidig. Men da kommutatoren mellom én av dem og det totale spinnet <math> \hat{\mathbf{S}}^2 = \hat{S}_1^2 +  \hat{S}_2^2 +  \hat{S}_3^2 </math> er null, kan egenverdiene til disse to bestemmes. Man finner da

: <math> \hat\mathbf{S}^2  = s(s +1)\hbar^2  </math>

hvor [[kvantetall]]et ''s'' kan ta verdiene 0, 1/2, 1, 3/2, 2 og så videre. Kvantemekanisk er derfor spinn alltid kvantisert og kan generelt ta halvtallige verdier. For vanlig, orbital dreieimpuls opptrer bare heltallige verdier.<ref name = Bohm/>

For en partikkel i et sentralpotensial ''V''(''r'') er det orbitale spinnet en bevart størrelse. Det følger fra kommutatoren

: <math> [\hat{L}_a,\hat\mathbf{p}^2] = [\hat{L}_a,\hat{p}_b\hat{p}_b] = i\hbar\,\varepsilon_{abc}(\hat{p}_b\hat{p}_c +  \hat{p}_c\hat{p}_b) = 0 </math>

da Levi-Civita-symbolet er antisymmetrisk i alle sine indekser. I tillegg er

: <math> [\hat{L}_a, V(\hat{r})] = \varepsilon_{abc} [\hat{x}_b\,\hat{p}_c, V(\hat{r})] = \varepsilon_{abc} \hat{x}_b[\hat{p}_c, V(\hat{r})] = -i\hbar\, \varepsilon_{abc} {\hat{x}_b \hat{x}_c\over\hat{r}}V'(\hat{r}) = 0 </math>

av samme grunn. Dermed er kommutatoren med Hamilton-operatoren <math>  [\hat\mathbf{L},\hat{H}] = 0 </math> og den kvantiserte dreieimpulsen forblir konstant.

Vanlig [[vektoranalyse]] kan  opplagt ikke uten videre benyttes for slike ikke-kommuterende variable. For eksempel finner man fra den fundamentale kommutatoren at

: <math> \hat\mathbf{x}\cdot(\hat\mathbf{p}\times\hat\mathbf{L}) = \hat\mathbf{L}^2\!, \; \text{mens}  \;\;(\hat\mathbf{p}\times\hat\mathbf{L})\cdot \hat\mathbf{x} = \hat\mathbf{L}^2 + 2i\hbar\,\hat\mathbf{p}\cdot\hat\mathbf{x} </math>

For en partikkel i et generelt potensial finnes det derfor ingen enkel måte å beregne de kvantemekaniske egenskapene i denne formuleringen av teorien.<ref name = Weinberg>S. Weinberg, ''Lectures on Quantum Mechanics'', Cambridge University Press, England (2015). ISBN 978-1-107-11166-0.</ref>