Redigerer Kjeglesnitt (avsnitt)

===Projektiv og analytisk geometri ===
[[Fil:Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|thumb|left|René Descasrtes malt av Frans Hals]]
På 1600-tallet var det stor interesse for bruk av [[sentralperspektiv]] i malerkunsten.  Sammen med ''Kjeglesnitt'' av Apollonius inspirerte dette franskmannen [[Girard Desargues]] (1591-1661) til i 1639 å gi ut
boken med den omstendelige tittelen ''Brouillon projet d'une atteinte aux évenement des recontres d'une cone avec un plan'' («Et grovt utkast på et forsøk på å behandle et møte mellom en kjegle og et plan»)<ref name=BOYER6/>.
Her legger Desargues grunnen for projektiv geometri, ved å behandle egenskaper ved kjeglesnitt som er uendret når kjeglesnittet blir projisert mot et punkt.  Når en sirkel projiseres dannes det nettopp en kjegle.

[[Blaise Pascal]] (1623-1662) var elev av Desargues og var bare 16 år gammel da han ga ut ''Essay pour les coniques'' («Essay om kjeglesnittene»).  Denne artikkelen var bare på én enkelt side og inneholdt det
forfatteren selv kalte ''hexagrammum mysticum'', senere kalt ''Pascals teorem''.  Det omtaler egenskaper til et [[heksagon]] innskrevet i en ellipse.  Pascal skal også ha gitt ut et senere verk om kjeglesnitt,
men dette har gått tapt.<ref name=BOYER6/>  Også en annen elev av Desargues, [[Philippe de La Hire]] (1640-1718), ga i 1685 ut et verk om kjeglesnitt. ''La Hires teorem'' omhandler tangenter til kjeglesnitt.<ref name=MORF/>
[[Charles Julien Brianchon|Charles Brianchon]] (1783-1864) ga Pascals teorem en modernisert form og beviste det som nå kalles ''Brianchons teorem'' for et heksagon omskrevet 
om en ellipse. Pascals teroem og Brianchons teorem er begge grunnleggende for studiet av kjeglesnitt i projektiv geometri og sammen et eksempel på «duale» teorem i geometri - teorem som er gyldige dersom ordene
«linje» og «punkt» bytter plass.<ref name=BOYER8/>

Arbeid med projektiv geometri ble videreført og systematisert av [[Jean-Victor Poncelet]] (1788-1867).  ''Poncelets tillukningsteorem'' omhandler et polygon som er
innskrevet i ett kjeglesnitt og omskrevet i et annet. 
 
Ved å legge grunnen for [[analytisk geometri]] gjorde [[René Descartes]] (1596-1650) og [[Pierre de Fermat]] (1601-1665) det mulig å behandle kjeglesnittene [[algebra|algebraisk]].  
For begge disse matematikerne var ''Kjeglesnitt'' av Apollonios en viktig inspirasjon.  
I bok III presenterer Apollonios kjeglesnitt
som det geometriske sted for et punkt der avstanden til tre eller fire linjer har et bestemt forhold. Med tre linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik kvadratet av avstanden
til den tredje linjen.  Med fire linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik produktet av avstandene til de to andre linjene.  Det var en generalisert form for dette resultatet 
Descartes brukte til å utforske bruken av koordinater, etter forslag fra [[Jacob Golius]] (1596-1667).  Fermat viste at andregradsuttrykk kunne brukes til å definere hyperbler, parabler og ellipser,
og også at transformasjoner kunne brukes til å omforme generelle andregradsuttrykk til standardformer for kjeglesnittene.  

Descartes ''La géométrie'' var ikke lett tilgjengelig i formen, og det ble gitt ut flere kommentarer til verket.  [[Johan de Witt]] (1629-1672) brukte Descartes koordinatdefinisjoner til å studere kjeglesnitt
i kommentarverket ''Elementa curvarum'', som ble utgitt omkring 1660.  Her reduserer han alle andregradsligninger i to variable til kanoniske former, ved en translasjon og rotasjon av aksene.<ref name=BOYER7/>
Han bruker også diskriminanten for å skille tilfeller der ligningen gir hyperbler, parabler og ellipser.  Betegnelsen «direktrise» kommer fra de Witt. Det latinske «directrix» betyr «hun som styrer», der 
hunkjønnsformen ble brukt fordi ordet «linje» på latin (''linea'') er hunkjønn.<ref name=ETYM2/>  Samtidig med de Witt publiserte [[John Wallis]] (1616-1703) i England et verk med omtrent tilsvarende innhold.<ref name=BOYER7/>   

[[Giulio Carlo de' Toschi di Fagnano|Giulio di Fagnano]] (1682-1766) forsøkte å beregne [[buelengde]] av en ellipse, men støtte på problemer med å utføre det nødvendige integrasjonen. Integralet er 
et [[elliptisk integral]], som dermed har et opphav knyttet til kjeglesnitt.