Redigerer Hamilton-mekanikk (avsnitt)

==Maupertuis' virkningsprinsipp==

I en beskrivelse av et mekanisk system basert på [[Hamiltons virkningsprinsipp]] ''&delta;S = 0'' betrakter man varierte baner som går fra et gitt begynnelsespunkt ved en gitt tid og som alle ankommer samtidig i et bestemt sluttpunkt ved et senere tidspunkt. De varierte bevegelsene vil derfor i alminnelighet ha annen energi enn den klassiske bevegelsen.

Oppgir man kravet om at de varierte banene skal ankomme til samme tidspunkt, er det mulig å reformulere dette virkningsprinsippet slik at man bare betrakter varierte baner med samme energi ''E''. Variasjonen av virkningen vil derfor da måtte tilfredsstille ''&delta;S + E&delta;t = 0''. Fra den generelle definisjonen av Hamiltons virkning har man i dette tilfellet at

: <math> S =  \int_0^q\! p\cdot dq - Et </math>

Det betyr at det nye virkningsprinsippet kan skrives som ''&delta;W = 0'' hvor ''W = W(q,E,q<sub>0</sub>&thinsp;)'' er ''Maupertuis' virkning''

: <math> W = \int_0^q\! p\cdot dq </math>

Dette er [[Maupertuis' virkningsprinsipp]] som ble funnet allerede på midten av 17-hundreårstallet. Variasjonen ''&delta;W'' utføres her mellom et gitt begynnelsespunkt og sluttpunkt for bevegelsen under den betingelse at alle varierte baner har samme energi.

Hamilton så at dette [[virkningsprinsipp]]et spiller samme rollen i mekanikken som [[Fermats prinsipp]] gjør i optikken. Denne nye virkningen kalte han for ''den karakteristiske funksjonen'' som er analog til den optiske veilengden i [[Fermats prinsipp|geometrisk optikk]]. Den tyske matematiker [[Carl Gustav Jacob Jacobi]] bidro til å avklare de matematiske aspektene ved disse forskjellige formuleringene.

Sammenhengen ''S = W -  Et'' kan sees på som en [[Legendre-transformasjon]] hvor man erstatter den variable ''t'' i funksjonen ''S'' med den variable ''E'' i funksjonen ''W''. Da blir ''&delta;S = &delta;W - E&delta;t - t&delta;E&thinsp;''. Men da ''&delta;S + E&delta;t = 0&thinsp;'', må vi derfor ha  ''&delta;W = E&delta;t&thinsp;''. Det betyr at

: <math> {\partial W\over\partial E} = t </math>

som er hva man venter ved en slik transformasjon av variable. Dette resultatet kan brukes til å bestemme tidsforløpet av en bevegelse når Hamiltons karakteristiske funksjon ''W'' er kjent.