Redigerer Geodetisk kurve (avsnitt)

==Kuleflate==

Mens det hyperbolske planet har [[Differensiell flategeometri#Krumning|gaussisk krumning]] ''K'' = - 1, har kuleflaten krumning ''K'' = 1. Med bruk av [[kulekoordinater]] (''&theta;,&phi;'')&thinsp; er den beskrevet ved linjeelementet

: <math> ds^2 = d\theta^2 + \sin^2\!\theta\,d\phi^2 </math>

når dens radius settes lik ''r'' = 1. Velger man å beskrive en kurve på denne flaten som ''&phi;'' =  ''&phi;''(''&theta;''), er lengden gitt ved integralet

: <math>  L = \int_1^2\!d\theta\sqrt{1 + \sin^2\theta\dot{\phi}^2} </math>

hvor <math> \dot{\phi} = d\phi/d\theta </math>. Integranden ''F&thinsp;'' er uavhengig av parameteren ''&phi;''&thinsp; slik at  

: <math> \partial F/\partial\dot{\phi} = {\sin^2\theta\dot{\phi}\over\sqrt{1 + \sin^2\theta\dot{\phi}^2}} </math> 

er en konstant ''k&thinsp;'' for en geodetisk linje. Det gir differensialligningen

: <math> {d\phi\over d\theta} = {k/\sin^2\theta\over\sqrt{1 - k^2/\sin^2\theta}} </math>

Ved å innføre den nye variable <math> u = a\cot\theta </math> hvor <math> a = k/\sqrt{1 - k^2} </math>, omformes den til

: <math> {d\phi\over du} = - {1\over\sqrt{1 - u^2}} </math>

med løsningen <math> \phi = \arccos u + \phi_0 </math> hvor <math> \phi_0 </math> er en integrasjonskonstant. Den geodetiske linjen består dermed av punkter som oppfyller 

: <math> a\cot\theta = \cos(\phi - \phi_0) </math>.

Når den uttrykkes ved de omliggende, kartesiske koordinatene <math> x = \sin\theta\cos\phi, y = \sin\theta\sin\phi </math> og <math> z = \cos\theta </math>, tar den formen

: <math> az = x\cos\phi_0 + y\sin\phi_0 </math>

og beskriver et plan gjennom origo hvor kulens sentrum ligger. De geodetiske linjene er derfor storsirkler som fremkommer som skjæringspunktene mellom dette planet og kuleflaten.

Man kan skrive om løsningen til  <math> \tan\theta\cos(\phi - \phi_0) = a </math>. Sammenlignes dette med ligningen for linjene i det hyperbolske planet, har man her tan''&theta;'' i stedet for tanh''r''. På kuleflaten kan radius ''r&thinsp;'' identifiseres med ''&theta;''. Det er typisk at man i [[hyperbolsk geometri]] har resultat som kan fås fra [[sfærisk geometri]] ved å erstatte [[trigonometriske funksjoner]] med de tilsvarende [[hyperbolske funksjoner|hyperbolske funksjonene]].