Redigerer
Elektrisk felt
(avsnitt)
Hopp til navigering
Hopp til søk
Advarsel:
Du er ikke innlogget. IP-adressen din vil bli vist offentlig om du redigerer. Hvis du
logger inn
eller
oppretter en konto
vil redigeringene dine tilskrives brukernavnet ditt, og du vil få flere andre fordeler.
Antispamsjekk.
Ikke
fyll inn dette feltet!
==Ladninger på linjer og plan== I allminnelighet er det meget vanskelig å beregne det elektriske feltet nøyaktig for en generell ladningsfordeling. Men noen ganger lar det seg gjøre mer direkte. Det gjelder spesielt når problemet har en eller annen [[symmetri]] som forenkler oppgaven. For eksempel, for en sfærisk symmetrisk ladningsfordeling vil alle retninger være av samme betydning. Derav kan man med en gang si at det elektriske feltet må være radielt og ha samme størrelse i punkt med samme avstand fra fordelingens sentrum. Dette gjelder opplagt for en punktladning, men det gjelder like godt for en kuleformet, utstrakt fordeling hvor ladningen er uniformt fordelt. ===Linjeladning=== [[Fil:Linjeladning.jpg|thumb|280px|Feltet fra to motsatt plasserte linjeelement langs ''y''-aksen gir et resulterende felt langs ''x''-aksen.]] Feltet fra uendelig lang, rett linje med en konstant, lineær ladningstetthet ''λ'', kan ikke variere med posisjonen langs linjen da alt må forbli uforandret ved en slik forflytning. Det kan derfor bare variere med avstanden fra linjen. Plasseres linjeladningen langs ''y''-aksen, vil et lite intervall ''dy''  på denne i avstand +''y'' fra origo ha ladningen ''λdy''. Feltet fra dette intervallet har da størrelsen {{nowrap|''λdy''/4''πε''<sub>0</sub>''R''<sup> 2</sup> }} hvor ''R'' angir avstanden til feltpunktet. Har dette avstanden ''x'' fra ''y''-aksen, er denne gitte ved [[Pytagoras’ læresetning]] som {{nowrap|''R''<sup> 2</sup> {{=}} ''x''<sup> 2</sup> + ''y''<sup> 2</sup>}}. Da det også vil være et tilsvarende bidrag fra et tilsvarende intervall i punktet -''y'', vil summen av disse to gi en feltvektor normalt på ''y''-aksen. Denne komponenten finnes ved å multiplisere hvert av disse bidragene med ''x/R''. Det totale feltet i avstanden ''x'' fra linjen finnes nå ved å integrere opp alle disse bidragene fra hele linjen, : <math> E = {\lambda\over 4\pi\varepsilon_0} \int_{-\infty}^\infty {x dy\over (x^2 + y^2)^{3/2}} = {\lambda\over 2\pi\varepsilon_0 x}</math> En mer direkte vei å finne dette resultatet følger fra [[Gauss' lov]] ved å omslutte linjeladningen med en sylinderformet Gauss-flate. Ut fra symmetri er de elektriske feltvektorene rettet radielt utover og står derfor normalt på sylinderflaten. Har denne sylinderen radius ''r'' og høyde ''h'', vil fluksen gjennom den være {{nowrap|2''πrhE''}}. Da flaten omslutter en total ladning ''λh'', får man med en gang at {{nowrap|''E'' {{=}} ''λ''/2''πε''<sub>0</sub>''r'' }} hvor ''r '' igjen er avstanden til linjeladningen. Dette resulatet er også omtrentlig riktig for en endelig lang linjeladning så lenge som man betrakter felt i nærheten av midten til linjen. Ved dens endepunkt er feltet ikke rettet radielt utover.<ref name = RM> J.R. Reitz and F.J. Milford, ''Foundations of Electromagnetic Theory'', Addison-Wesley Publishing Company, Reading (1960).</ref> ===Ladet plan=== For et plan med konstant flateladning ''σ''  vil de elektiske feltvektorene stå normalt på planet, igjen ut fra symmetri. Hvis det ligger i ''xy''-planet, kan man betrakte denne todimensjonale ladningsfordelingen som bestående av en uendelig rekke med parallelle linjeladninger som er parallelle med ''y''-aksen, hver med en linjeladning {{nowrap|''λ {{=}} σdx''}}. Feltet fra en slik linje i avstand ''x'' fra ''y''-aksen er fra det foregående gitt som ''σdx''/2''πε''<sub>0</sub>''R'' hvor nå ''R'' angir avstanden fra denne linjen til feltpunktet i avstand ''z''  over origo, det vil si {{nowrap|''R''<sup> 2</sup> {{=}} ''x''<sup> 2</sup> + ''z''<sup> 2</sup>}}. Men da det bare er komponentene normalt på planet som bidrar, må dette bidraget multipliseres med ''z/R''. Det totale feltet i avstand ''z'' fra planet er derfor : <math> E = {\sigma\over 2\pi\varepsilon_0} \int_{-\infty}^\infty {z dx\over x^2 + z^2} = {\sigma\over 2\varepsilon_0 } </math> At resultatet er det samme uavhengig av avstanden til planet, har mange viktige konsekvenser. Det følger også fra Gauss' lov ved å legge igjen en sylinderformet flate som står normalt på det og omslutter en liten del med areal ''A''. Dette er også arealet til toppen og bunnen av sylinderen hvor fluksen går ut på begge sider av planet. I alt forlater derfor en fluks 2''EA'' sylinderen som skyldes ladningen ''σA''  innenfor. Dermed finner man igjen at {{nowrap|''E {{=}} σ''/2''ε''<sub>0</sub>}}. ===Ladet ring=== [[Fil:Ringladning.jpg|thumb|280px|Det elektriske feltet i et punkt ''P'' på ringens akse fra linjeelementet ''ds''.]] En annen, symmetrisk linjeladning er en ring med radius ''a'' og konstant ladningstetthet ''λ''. Den totale ladningen på ringen er derfor {{nowrap|''q'' {{=}} 2''πaλ''}}. Med en gang kan man da si at feltet er null ringens sentrum. Det skyldes at feltet fra ladningen i et punkt på ringen blir nøyaktig opphevet av feltet fra det diametralt motsatte punktet. På samme måte har punktene langs en linje normalt på ringen og gjennom dens sentrum en spesielt symmetrisk plassering. Dette er ringens akse. Der vil bidragene fra to diametralt plasserte punkt på ringen gi et resulterende felt som peker langs ''z''-aksen hvis ringen ligger i ''xy''-planet. Et lite stykke av ringen med lengde ''ds '' vil gi et felt med størrelse ''λds''/4''πε''<sub>0</sub>''R''<sup> 2</sup>  hvor ''R'' angir avstanden fra denne ladningen til feltpunktet ''P '' i avstand ''z''  over ringen. Her er nå {{nowrap|''R''<sup> 2</sup> {{=}} ''a''<sup> 2</sup> + ''z''<sup> 2</sup>}}. Når vi summerer opp alle disse bidragene fra punkter langs ringen, er det bare brøkdelen ''z/R''  av dette feltet langs ringens akse som vil bidra. I andre retninger vil komponentene kansellere ut. Da integralet av ''ds '' er omkretsen 2''π a'', blir dermed feltet langs ''z''-aksen : <math> E = {qz\over 4\pi\varepsilon_0(a^2 + z^2)^{3/2}} </math> I ringens sentrum er ''z'' = 0. Feltet er der null som forventet. Langt fra ringen hvor ''z'' >> ''a'', er reduseres dette resultatet til {{nowrap|''E {{=}} q''/4''πε''<sub>0</sub>''z''<sup>2</sup>}}. I sin slik posisjon ser ringen ut som en enkel punktladning i avstand ''z''  og feltet er ganske enkelt gitt ved Coulombs lov.<ref name = YF/> ===Ladet disk=== Dette resultatet for en ladet ring, gjør det mulig også finne feltet på aksen til en ladet disk med konstant flateladningstetthet ''σ''. Man betrakter da den som satt sammen av konsentriske ringer med variabel radius ''r''. En slik ring med tykkelse ''dr'' har ladningen ''dq'' = 2''πrdr''. Har disken radius ''R'', finner man ved integrasjon over alle ringene at feltet på aksen i avstand ''z '' blir : <math> E = {\sigma z\over 4\pi\varepsilon_0} \int_{-\infty}^\infty {2\pi rdr\over (r^2 + z^2)^{3/2}} = {\sigma\over 2\varepsilon_0}\left( 1 - {z\over\sqrt{z^2 + R^2}}\right) </math> I grensen ''R'' → ∞ går disken over til å bli et uendelig plan hvor feltstyrken utenfor igjen sees å anta den konstante verdien {{nowrap|''E {{=}} σ''/2''ε''<sub>0</sub>}}. ===Ledere og dielektrika=== Feltet utenfor en uniformt ladet plate er det samme uansett hva den er laget av. I et [[dielektrisk materiale]] som er en [[isolator]] kan ikke ladninger bevege seg fritt omkring, men kan plasseres i faste posisjoner. Har platen et areal ''A'', vil en total ladning ''Q '' da kunne plasseres uniform inne i den slik at den har flatetettheten {{nowrap|''σ {{=}} Q/A'' }}. Feltet på hver side av platen har da den konstante verdien {{nowrap|''E {{=}} σ''/2''ε''<sub>0</sub>}} = ''Q''/2''Aε''<sub>0</sub>. Derimot varierer feltet inni platen med verdien {{nowrap|''E'' {{=}} 0 }} i midten og er lineært voksende ut til overflaten hvor det tar den konstante verdien. Er platen derimot en [[elektrisk leder]], vil ladningen ''Q '' fordele seg på overflaten av lederen slik at feltet inne i platen blir nøyaktig lik null. Hver av overflatene har da ladningstettheten {{nowrap|''σ' {{=}} Q/2A''  }} og skaper feltene ''E' '' = ''σ' ''/2''ε''<sub>0</sub>  som peker ut fra lederen og inn i metallet. I metallet virker disse to delfeltene i motsatt retning slik at der blir totaltfeltet {{nowrap|''E'' {{=}} 0}}  som det skal være. Men utenfor lederen adderer de seg opp slik at der blir feltet {{nowrap|''E'' {{=}} 2''E' '' {{=}} ''σ' ''/''ε''<sub>0</sub> {{=}} ''Q''/2''Aε''<sub>0</sub>}}. Dette resultatet kan også forstås med en sylindrisk Gauss-flate med topp og bunn parallelle til metalloverflaten med bunnen innfor og toppen utenfor. Da går det fluks bare ut gjennom toppflaten da feltet gjennom bunnen inni i lederen er null. I [[elektrostatikk]]en er denne egenskapen til det elektriske feltet nær ledere av stor betydning. Denne oppførselen av det elektriske feltet forklarer også virkningen til et [[Faradays bur|Faraday-bur]].<ref name = YF/>
Redigeringsforklaring:
Merk at alle bidrag til Wikisida.no anses som frigitt under Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår (se
Wikisida.no:Opphavsrett
for detaljer). Om du ikke vil at ditt materiale skal kunne redigeres og distribueres fritt må du ikke lagre det her.
Du lover oss også at du har skrevet teksten selv, eller kopiert den fra en kilde i offentlig eie eller en annen fri ressurs.
Ikke lagre opphavsrettsbeskyttet materiale uten tillatelse!
Avbryt
Redigeringshjelp
(åpnes i et nytt vindu)
Navigasjonsmeny
Personlige verktøy
Ikke logget inn
Brukerdiskusjon
Bidrag
Opprett konto
Logg inn
Navnerom
Side
Diskusjon
norsk bokmål
Visninger
Les
Rediger
Rediger kilde
Vis historikk
Mer
Navigasjon
Forside
Siste endringer
Tilfeldig side
Hjelp til MediaWiki
Verktøy
Lenker hit
Relaterte endringer
Spesialsider
Sideinformasjon