Redigerer Eksponentiell vekst (avsnitt)

==Vekstligninger==

Kontinuerlig vekst kan også beskrives ved en [[differensialligning]] som ofte gir en mer detaljert forståelse av prosessen. Man fokuserer da på hva som skjer i korte tidsintervall {{nowrap|&Delta;''t''}} der populasjon øker med et tilsvarende lite antall {{nowrap|&Delta;''N''.}} Eksponentiell vekst oppstår når denne lille økningen er proporsjonal med den eksisterende mengden slik at {{nowrap|&Delta;''N'' {{=}} ''r&thinsp;N''.}} Vekstraten ''r'' må bli null hvis {{nowrap|&Delta;''t''}} er så liten at ingenting skjer. Derfor kan man sette at {{nowrap|''r'' {{=}} ''k''&thinsp;&Delta;''t''}} hvor ''k'' igjen er tidskonstanten.  Da nå {{nowrap|&Delta;''N''  {{=}}  ''k''&thinsp;&Delta;''t&thinsp;N''}}, får man

: <math> {dN\over dt} = kN </math>

når de små størrelsene &Delta;''t'' og &Delta;''N'' erstattes av [[differensial (matematikk)|differensialene]] ''dt'' og ''dN''. Dette er vekstligningen for eksponentiell vekst.<ref name="Kreyszig"> E. Kreyszig, ''Advanced Engineering Mathematics'', John Wiley & Sons, New York (1083). ISBN 0-471-88941-5.</ref> Den er en førsteordens differensialligning som lett løses ved å skrive den som ''dN''/''N'' = ''kdt''. Fra definisjonen av den [[naturlig logaritme|naturlige logaritme]] er derfor {{nowrap|ln(''N''/''N''<sub>0</sub>) {{=}} ''kt''&thinsp;}} når {{nowrap|''N''<sub>0</sub>&thinsp;}} er antallet ved begynnelesestidspunktet {{nowrap|''t'' {{=}} 0}}. Denne formen til løsningen er ekvivalent med {{nowrap|''N''(''t''&thinsp;) {{=}} ''N''<sub>0</sub>''e''<sup>&thinsp;''kt''</sup>}}.

Uttrykket ''k'' = ''r''&thinsp;/&Delta;''t'' er konsistent med {{nowrap|''k'' {{=}} ln''g''&thinsp;/''T''}} som ble tidligere funnet for kontinuerlig vekst der vekstfaktoren ''g''&thinsp; gjelder for et endelig tidsintervall ''T''.  Men nå er {{nowrap|''T'' {{=}} &Delta;''t''&thinsp;}} svært liten slik at man tilnærmet også kan sette {{nowrap|ln''g'' {{=}} ln(1 + ''r''&thinsp;)}} = ''r&thinsp;'' da vekstraten ''r'' er så liten.

===Logistisk vekst===
[[Fil:Logistic-curve.svg|thumb|320px|right|Grafisk fremstilling av ''N''/''P'' for logistisk vekst med tidskonstant ''k'' =1. Tiden angis fra det tidspunktet der veksthastigheten er størst, det vil si der ''N''/''P'' = 1/2.]]

I virkeligheten kan ikke eksponentiell vekst fortsette i det uendelige. Blir det for mange mennesker i et land, kan det etter hvert bli for lite mat eller de blir boende så tett og usunt at stadig flere dør av sykdom. Dette betyr at vekstraten blir mindre ved et økende antall i populasjonen. Hvis denne reduksjonen er lineær, må man erstatte ''r'' med {{nowrap|''r''&thinsp;(1 - ''N''/''P''&thinsp;)}} hvor ''P'' er en ny konstant som er lik med den maksimale verdi ''N'' kan ta. Vekstligningen tar dermed formen

: <math> {dN\over dt} = kN\Big(1 - {N\over P}\Big) </math>

Dette er '''logistiske vekstligningen''' og har som viktigste egenskap at den eksponentielle veksten vil avta etter en stund og til slutt stoppe helt opp med en sluttverdi {{nowrap|''N {{=}} P''}}. Da ''dN''/''dt'' angir hastigheten av veksten, er høyresiden i ligningen et uttrykk for hvor stor den er for hver verdi av ''N''.<ref name = Kreyszig/> Det gir at veksten øker raskest når ''N'' har nådd  halvparten av maksimalverdien ''P'' og deretter vil avta mot null. Som funksjon av tiden vil derfor hastigheten starte ut fra null, nå et maksimum med ''N'' = ''P''/2 og så avta mot null igjen.

Differensialligningen kan løses eksakt med resultatet ved å skrive den på formen

: <math> {P dN\over N (P - N} = dN\Big({1\over N} + {1\over P - N}\Big) = k dt </math> 

Her kan vært ledd på venstresiden integreres ved hjelp av den naturlige logaritmefunksjonen. På den måten finner man løsningen

: <math> N(t) = {N_0 P e^{kt}\over P + N_0(e^{kt} - 1)} </math> 

der ''N''<sub>0</sub> igjen er antallet ved tidspunktet ''t'' = 0. Den beskriver en eksponentiell vekst ved tidlige tidspunkt. Senere flater den etterhvert ut og nærmer seg ''P'' når ''t'' er blitt mye større enn den karakteristiske tiden {{nowrap|1/''k''}} som bestemmer hastigheten til veksten.<ref name = W> E.W. Weisstein,  [https://mathworld.wolfram.com/LogisticEquation.html ''Logistic Equation''],  Wolfram MathWorld</ref>

Denne logistiske tidsutvikling er viktig i [[populasjonsdynamikk]] og er et speilbilde av Fermi-Dirac-fordelingen i [[statistisk fysikk]].

===Polynomial vekst===

Eksponentiell vekst er karakterisert ved at vekstraten hele tiden er den samme. Dette er forskjellig fra hva som skjer i en prosess hvor antallet vokser som et [[polynom]] med tiden. Hvis dette er av grad ''p'', har man da ved sene tidspunkt at

: <math> N(t) = a t^p </math>

hvor ''a'' er en konstant.  Dette representrerer lineær vekst når ''p'' = 1,  kvadratisk vekst for ''p'' = 2 og så videre. Vekstraten ved hvert tidspunkt er nå

: <math> {1\over N}{dN\over dt} = {p\over t} </math>

Den er ikke konstant, men avtar med tiden. På lignende måte varierer også fordoblingstiden ''t''<sub>&thinsp;2</sub> for en slik polynomial vekst. Den er nå gitt ved

: <math> \ln \big(1 + {t_2\over t}\big) = {\ln 2\over p} </math>

Da høyresiden her er en konstant mindre enn 1, har man tilnærmet at ''t''<sub>&thinsp;2</sub> = ln&thinsp;2''t''&thinsp;/''p'' og øker derfor proporsjonalt med tiden. Det tar lengre og lengre tid for at antallet i populasjonen vil fordobles, mens ved eksponentiell vekst forblir denne tiden den samme.