Redigerer Dobbeltforhold (avsnitt)

===Komplekse koordinater===

Punkter på en linje kan generelt ta andre verdier enn [[reelt tall|reelle]] tall. Spesielt vanlig er det i [[algebraisk geometri]] hvor [[komplekst tall|komplekse tall]] har en helt avgjørende rolle. Hvert punkt på den komplekse, projektive linjen '''CP'''<sup>1</sup> kan dermed angis ved en kompleks, ikke-homogen koordinat ''z''. En projektive transformasjon er da gitt ved den rasjonale funksjonen

: <math> z' = {az + b \over cz + d} </math>

hvor de komplekse parametrene ''a'', ''b'', ''c'' og ''d'' må oppfylle ''ac - bd'' &ne; 0 slik at transformasjonen er invertibel. Dette kalles nå en [[Möbius-transformasjon]] og har stor betydning i [[kompleks analyse]].

Hvert punkt ''z'' = ''x'' + ''iy'' på den projective linjen '''CP'''<sup>1</sup> tilsvarer et punkt med reelle koordinater (''x,y'') i det [[komplekst tall|komplekse planet]]. Det geometriske innholdet som karakteriserer  Möbius-transformasjon, er at den transformerer linjer og sirkler i dette planet over i hverandre.<ref name="Pedoe">D. Pedoe, ''A Course of Geometry for Colleges and Universities'', Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.</ref>

For fire punkt ''P''<sub>1</sub>, ''P''<sub>2</sub>, ''P''<sub>3</sub>  og ''P''<sub>4</sub>  i det komplekse planet kan man nå definere dobbeltforholdet

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {(z_3 - z_1)(z_4 - z_2)\over (z_3 - z_2)(z_4 - z_1)}  </math>

som i alminnelighet vil være et komplekst tall. Det forblir uforandret under en Möbius-transformasjon på samme måte som i det reelle tilfellet. Men i det spesielle tilfellet at de fire punktene ligger på en linje, vil det være reelt. Etter transformasjonen vil de bli liggende på en sirkel, men med samme, reelle verdi for dobbeltforholdet. Dette ble først innsett av [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] og som er en av grunnene til at hans navn er knyttet til denne transformasjonen.<ref name="Coolidge">J.L. Coolidge,  ''A History of Geometrical Methods'', Dover Publications, New York (2003). ISBN 0-486-49524-8.</ref>

Denne egenskapen ved det komplekse dobbeltforholdet kan vises direkte ved å plassere origo i senteret til sirkelen hvor punktene ligger. Hver av koordinatene kan da skrives som {{nowrap|''z'' {{=}} ''e''<sup>''i&phi;''</sup>}} da sirkelens [[radius]] vil kansellere ut. Dermed blir

: <math> (P_1,P_2;P_3,P_4) = {(e^{i\phi_3} - e^{i\phi_1})(e^{i\phi_4} - e^{i\phi_2})\over (e^{i\phi_3} - e^{i\phi_2})(e^{i\phi_4} - e^{i\phi_1})} = {\sin{\phi_3 - \phi_1\over 2}\sin{\phi_4 - \phi_2\over  2}\over \sin{\phi_3 - \phi_2\over 2} \sin{\phi_4 - \phi_1\over 2}} </math>

Her er (''&phi;''<sub>3</sub> -  ''&phi;''<sub>1</sub>)/2 [[periferivinkel]]en mellom punktene  ''P''<sub>1</sub> og ''P''<sub>3</sub> og tilsvarende for de andre differansene. Dermed er dette resultatet i overensstemmelse med hva som ble funnet for fire sykliske punkt i euklidsk geometri.