Redigerer Den spesielle relativitetsteorien (avsnitt)

===Lorentz-transformasjonen===

Hvis man igjen tenker seg situasjonen med toget som går med konstant hastighet ''v'' langs ''x''-aksen, kan man nå tenke seg den situasjon at ved tiden ''t = 0'' slår stasjonsmesteren på et utelys.  Han ser at det beveger seg likt utover i alle retninger med hastigheten ''c''. Dette er akkurat tidspunktet da toget passerer stasjonen. Ved et senere tidspunkt ''t''  beskriver derfor lysfronten en kuleflate med radius ''ct''. Dette beskrives ved ligningen

: <math> x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2 </math>

Mannen på toget ser at lyset på stasjonen blir slått på ved tiden ''t'&thinsp;'' = 0. Ifølge Einsteins to postulater vil han også se at lysfronten danner en kuleflate som beveger seg utover med hastigheten ''c''. Denne beskriver han ved ligningen

: <math> x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2t'^2 </math>

uttrykt i sine koordinater ''(t',x',y',z')''. De to observatørene befinner seg i hvert sitt inertialsystem og beskriver derfor hendelsen på samme måte.

Ut fra symmetry kan man nå lett overbevise seg om at de to koordinatene vinkelrett på bevegelsesretningen er de samme i de to systemene, det vil si ''y' = y'' og ''z' = z''. Ligningene for lysfronten kan dermed kombineres til ''x<sup>2</sup> - c<sup>2</sup>t<sup>2</sup> = x'<sup>&thinsp;2</sup> - c<sup>2</sup>t'<sup>&thinsp;2</sup>''. Dette er det nye kravet som må oppfylles av koordinatene som de to observatørene benytter. Er den nye transformasjonen som forbinder dem også lineær, finner man at den må være<ref name = TaylorWheeler> E. F. Taylor and J. A. Wheeler, ''Spacetime Physics'', W. H. Freeman and Company, San Francisco (1963).</ref>

: <math> x = {x' + vt'\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} \; , \;\;\; t = {t' + vx'/c^2\over \sqrt{1 - v^2/c^2}} </math>

Den omvendte transformasjonen, fra ''(t,x)'' til ''(t',x')'', finnes ved å la ''v &rarr; - v''.  Dette er [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-transformasjonen]] som erstatter transformasjonen til Galilei. Men man ser at for lave hastigheter ''v << c'', stemmer de overens. [[Hendrik Lorentz]] hadde funnet transformasjonen før Einstein. Men han benyttet den kun som en transformasjon fra det spesielle systemet hvor eteren ligger i ro, til et system som beveger seg i forhold til eteren. Einstein viste at transformasjonen forbinder alle inertialsystem.