Redigerer De Broglies bølgelengde (avsnitt)

===Klein-Gordon-ligningen===

For en relativistisk partikkel følger impulsen fra ''p''<sup>2</sup> = (''E - V'')<sup>2</sup>/''c''<sup>2</sup> - ''m''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>. Innsatt i ligningen for den stasjonære bølgefunksjonen tar den nå formen

: <math> \hbar^2\boldsymbol{\nabla}^2\psi + \Big({E - V\over c}\Big)^2\psi = m^2c^2\psi </math>

Denne ligningen hadde også Schrödinger funnet, men forkastet den da den ikke ga riktige verdier for de relativistiske energitilstandene i [[hydrogenatom|H-atomet]]. Noen år senere ble det klart at for å beregne disse energiene korrekt, må man også inkludere effektene av [[spinn]]et til elektronet i atomet. Den beregningen ble først gjennomført noen år senere ved innføringen av [[Diracligningen|Dirac-ligningen]].<ref name = Pais/>

I det enklere tilfellet med en fri partikkel er potensialet ''V'' = 0. Da energien kan finnes ved å la operatoren ''iħ''&thinsp;&part;/&part;''t'' virke på den tidsavhengige bølgefunksjonen, kan den relativistiske ligningen skrives som

: <math> \boldsymbol{\nabla}^2\Psi - {1\over c^2}{\partial^2\Psi\over\partial t^2} = \Big({mc\over\hbar}\Big)^2\Psi </math>

Den ble etterhvert kalt for [[Klein-Gordon-ligning]]en etter to av de fysikerne som fant den kort tid etter at Schrödinger hadde forkastet den. På høyre side inngår lengden {{nowrap|''&lambda;<sub>C</sub> {{=}} ħ/mc''}} som er den reduserte [[Comptoneffekten|Compton-bølgelengden]] for partikkelen. Ved bruk av [[Kovariant relativitetsteori|kovariant notasjon]], kan man skrive denne bølgeligningen som {{nowrap|(&part;<sup>''&mu;''</sup>&part;<sub>''&mu;''</sub> + (''mc/ħ'')<sup>2</sup>)&Psi; {{=}} 0&thinsp;}} hvor den kovariante deriverte er {{nowrap|&part;<sub>''&mu;''</sub> {{=}} &part;/&part;''x<sup>&mu;</sup>''}} =
(&part;/&part;''ct'',&thinsp;'''&nabla;'''&thinsp;). På denne kompakte formen er det tydelig at ligningen er invariant under [[Kovariant relativitetsteori|Lorentz-transformasjoner]] som alle relativistiske bølgeligninger må være.<ref name = BjorkenDrell>J.D. Bjorken and S.D. Drell, ''Relativistic Quantum Mechanics'', McGraw-Hill, New York (1964). ISBN 0-07-005493-2.</ref>